Cho đường tròn , đường kính . Đường thẳng nằm ngoài đường tròn là các đường thẳng lần lượt qua và cùng vuông góc với đường kính Qua điểm bất kì thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến qua tại   cắt đường tròn lần lượt tại .

Xác định vị trí của để diện tích tam giác đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: .

Ta có  với mọi nên luôn xác định.

Để suy ra . Mà nên .

Giải bất phương trình:

Do nên , suy ra  và .

Suy ra nên , suy ra .

Kết hợp điều kiện, suy ra  và

Mà nên .

Vậy là các giá trị nguyên cần tìm để .

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: là tia phân giác , là tia phân giác góc .

Mà và là hai góc kề bù nên .

Suy ra tam giác vuông tại có .

Xét và , có:

(gt)

(cùng phụ với )

Do đó, (g.g) nên .

Suy ra .

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: và .

Do đó,  suy ra . (1)

Mà ta có: suy ra do đó  (2)

Từ (1) và (2) suy ra (đpcm).