Giải phương trình

Cho đường tròn \(\left( O \right)\), đường kính \(AB\). Đường thẳng nằm ngoài đường tròn \({d_1},{d_2}\) là các đường thẳng lần lượt qua \(A,B\) và cùng vuông góc với đường kính \(AB.\) Qua điểm \(H\) bất kì thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến qua \(A,B\) tại \(M,N\,;\) \(OM,\,\,ON\) cắt đường tròn lần lượt tại \(E,F\).

a) Chứng minh rằng \(AM.BN = \frac{{A{B^2}}}{4}\).

b) Xác định vị trí của \(M,N\) để diện tích tam giác \(MON\) đạt giá trị lớn nhất.

c) Có \[ON \cap HB = G;OM \cap HA = K;\]\[HJ\] vuông góc với \[AB\] (\[J \in AB\]). Chứng minh rằng \[J{K^2} + J{G^2}\] có giá trị không đổi khi \[M\] di chuyển trên đường thẳng \[{d_1}\].

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu mới đầy bể?