Một sợi dây thép có chiều dài được chia thành hai phần (như hình vẽ minh họa dưới đây).

Mỗi phần đều được uốn thành một hình vuông. Hỏi phải chia sợi dây ban đầu như thế nào để tổng diện tích hai hình vuông thu được sau khi uốn là nhỏ nhất?

Gọi  lần lượt là thời gian mà người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai làm một mình xong công việc (, đơn vị: ngày).

Trong một ngày, người thứ nhất làm được số phần công việc là: (công việc).

Trong một ngày, người thứ hai làm được số phần công việc là: (công việc).

Hai người cùng làm sau 6 ngày thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình:

hay . (1)

Theo đề, hai người làm cùng nhau trong 3 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 4 ngày nữa thì hoàn thành công việc, do đó ta có: hay . (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình .

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ phương trình:

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ trên, ta được:

nên (thỏa mãn).

Thay vào phương trình (1), ta được:

, suy ra nên (thỏa mãn).

Vậy người thợ thứ nhất làm một mình thì hoàn thành công việc trong 24 ngày, người thợ thứ hai làm một mình thì hoàn thành công việc trong 8 ngày.

⦁ Ta có căn bậc hai của là .

Vậy căn bậc hai của là .

⦁ Vì có căn bậc hai là , nên ta có:

suy ra hay

Vậy là số cần tìm.