(2,5 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm \(A\) cách \(O\) một khoảng \(2R\). Từ \(A\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,AC\) với đường tròn (\(B,C\) là các tiếp điểm).
a) Chứng minh \(OA\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).
b) Đường thẳng vuông góc với \(OC\) tại \(O\) cắt \(AB\) tại \(M\). Đường thẳng vuông góc với \(OB\) tại \(O\) cắt \(AC\) tại \(N\). Chứng minh rằng tứ giác \(AMON\) là hình thoi.
c) Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \(OB,\,\,OC\) và cung lớn \(BC.\)
(2,5 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm \(A\) cách \(O\) một khoảng \(2R\). Từ \(A\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,AC\) với đường tròn (\(B,C\) là các tiếp điểm).
a) Chứng minh \(OA\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).
b) Đường thẳng vuông góc với \(OC\) tại \(O\) cắt \(AB\) tại \(M\). Đường thẳng vuông góc với \(OB\) tại \(O\) cắt \(AC\) tại \(N\). Chứng minh rằng tứ giác \(AMON\) là hình thoi.
c) Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \(OB,\,\,OC\) và cung lớn \(BC.\)
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) cắt nhau tại \(A\) nên \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(OB = OC = R\)
Suy ra \(AO\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).
b) Ta có: \(AB \bot OB\) (do \(AB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B)\) và \(ON \bot OB\)
Tương tự, ta có: \(OM\,{\rm{//}}\,AC\) hay \(OM\,{\rm{//}}\,AN\). (2)
Xét tứ giác \(AMON\) có \(ON\,{\rm{//}}\,AM\) và \(OM\,{\rm{//}}\,AN\) nên \(AMON\) là hình bình hành.
Ta có: hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) cắt nhau tại \(A\) nên \(AO\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), hay \(AO\) là tia phân giác của \(\widehat {MAN}\) (3)
Do đó hình bình hành \(AMON\) là hình thoi.
c) Ta có: \(\sin \widehat {OAC} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2},\) suy ra \(\widehat {OAC} = 30^\circ \).
Suy ra \(\widehat {MON} = \widehat {MAN} = 2 \cdot \widehat {OAC} = 60^\circ \).
Ta có \(\widehat {BOM} + \widehat {MON} = \widehat {BON} = 90^\circ \) suy ra \[\widehat {BOM} = 90^\circ - \widehat {MON} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \].
Suy ra \(\widehat {BOC} = \widehat {BOM} + \widehat {MOC} = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ .\)
Mà \(\widehat {BOC}\) là góc ở tâm chắn cung nhỏ \(BC\) nên
Do đó số đo cung lớn \(BC\) là:
Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \(OB,\,\,OC\) và cung lớn \(BC\) là
\(S = \frac{{240\pi {R^2}}}{{360}} = \frac{{2\pi {R^2}}}{3}\) (đơn vị diện tích).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi \[x,y\] lần lượt là thời gian mà người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai làm một mình xong công việc (\[x,y > 0\], đơn vị: ngày).
Trong một ngày, người thứ nhất làm được số phần công việc là: \[\frac{1}{x}\] (công việc).
Trong một ngày, người thứ hai làm được số phần công việc là: \[\frac{1}{y}\] (công việc).
Hai người cùng làm sau 6 ngày thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình:
\[6 \cdot \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\] hay \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\]. (1)
Theo đề, hai người làm cùng nhau trong 3 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 4 ngày nữa thì hoàn thành công việc, do đó ta có: \[3 \cdot \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + \frac{4}{y} = 1\] hay \(\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1\). (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1\end{array} \right.\].
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{2}\\\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1.\end{array} \right.\]
Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ trên, ta được:
\[\frac{4}{y} = \frac{1}{2}\] nên \[y = 8\] (thỏa mãn).
Thay \[y = 8\] vào phương trình (1), ta được:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{8} = \frac{1}{6}\], suy ra \[\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}\] nên \[x = 24\] (thỏa mãn).
Vậy người thợ thứ nhất làm một mình thì hoàn thành công việc trong 24 ngày, người thợ thứ hai làm một mình thì hoàn thành công việc trong 8 ngày.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập