Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {0; - 1;1} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( { - 1;0; - m} \right)\). Có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để góc giữa vectơ \(\overrightarrow a \) và vectơ \(\overrightarrow b \) bằng \(60^\circ \)?

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát \(2,5{\rm{\;km}}\) về phía nam và \({\rm{2\;km}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(0,8{\rm{\;km}}\). Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát \(1,5{\rm{\;km}}\) về phía bắc và \(3{\rm{ km}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(0,6{\rm{\;km}}\). Người ta cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Giả sử vị trí cần tìm cách địa điểm hai khinh khí cầu bay lên là \(a\,{\rm{km}}\) theo hướng nam và \(b\,{\rm{km}}\) theo hướng tây. Tính tổng \(2a + 3b\).

Giả sử chi phí tiền xăng \(C\) (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình \(v\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) theo công thức: \(C\left( v \right) = \frac{{5400}}{v} + \frac{3}{2}v\left( {0 < v \le 120} \right)\). Tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - \sqrt {{x^2} - x} \). Tìm số đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\Delta ABC\), biết \(A\left( { - 1;0;3} \right),B\left( {4;2;0} \right),C\left( {3;1; - 3} \right)\).

a) \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow k \).

b) \(G\left( {2;1;0} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

c) \(M\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \). Khi đó \(a + b + c = - 13\).

d) \(M\left( {a;b;c} \right) \in Ox\) sao cho \(BM\) vuông góc với đường thẳng \(AC\). Khi đó \(4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 162.\)

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + 2025\), (tham số \(m\)). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau

a) Khi \(m = 1\) thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).

b) Khi \(m = 1\) thì hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

c) Khi \(m = 1\) thì hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng \( - 4\).

d) Có tất cả 1 giá trị nguyên của \(m\) để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).