Trong không gian \[Oxyz\], cho 3 điểm\(M\left( {2;1; - 3} \right)\), \(N\left( {1;0;2} \right)\); \(P\left( {2; - 3;5} \right)\). Tìm một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian \(t\left( s \right)\) là \(a\left( t \right) = 2t - 7\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\). Biết vận tốc ban đầu bằng \(6{\rm{m/s}}\).

a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t\left( s \right)\) xác định bởi \(v\left( t \right) = {t^2} - 7t + 10\).

b) Tại thời điểm \(t = 7\left( {\rm{s}} \right)\), vận tốc của chất điểm là \(6\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

c) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 7\) là \(18{\rm{m}}\).

d) Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là \(t = 7\left( {\rm{s}} \right)\).

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \((\alpha ):x + by + cz + d = 0\) vuông góc với mặt phẳng \((\beta ):x + 2y + 3z + 4 = 0\) và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng \((P):x + 3y + z - 7 = 0,\) \((Q):x - y + z + 1 = 0.\) Khi đó \(d\) bằng bao nhiêu?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đồ thị như hình vẽ sau. Biết diện tích các miền \(A,B,C\) lần lượt là \({S_A} = 2,35,{S_B} = 4,3,{S_C} = 8,35\).

a) \(\int\limits_{ - 3}^2 {f\left( x \right)dx} = 6,65\).

b) \(\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = 12,65} \).

c) \(\int\limits_{ - 3}^5 {\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]dx} = 7,4\).

d) \(\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x + f\left( x \right)} \right]dx} = 16,05\).

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho điểm \(A\left( {0; - 1;1} \right)\) và hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 1;0;2} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {2;1;0} \right)\).

a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) nhận \(\overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - x + 2z - 2 = 0.\)

b) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) làm vặp vectơ chỉ phương có phương trình \(2x - 4y - z - 3 = 0\).

c) Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,B\left( { - 3;1;2} \right),C\left( {1;0;1} \right)\) có phương trình \(x - y + 5z - 6 = 0\).

d) Gọi \(M\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục \(Ox\), \(N\)là giao điểm của \(\left( Q \right)\) và trục \(Oz\). Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,M,N\) có phương trình là \(3x + 8y + 2z + 6 = 0\).

Ông An xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30 m và chiều dài 50 m. Để giảm bởi chi phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm hai phần (tô đen và không tô đen) như hình vẽ. Phần tô đen gồm hai phần diện tích bằng nhau và đường cong \(AIB\) là một parabol đỉnh I được trồng cỏ nhân tạo với giá 130000 đồng/m² và phần còn lại được trồng với giá 90000 đồng/m². Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền (triệu đồng) để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng đá.

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - z + 10 = 0\) và điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\), vuông góc với \(\left( P \right)\), cách gốc tọa độ \(O\) một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) và cắt các tia \(Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(B,C\) không trùng \(O\). Thể tích khối tứ diện \(OABC\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?