Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho độ dài $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 3. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Cho điểm $A\left( {1;2; - 1} \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x - 2y + 2z + 2 = 0$. Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và cách $A$ một khoảng bằng 1 có dạng $\left( \alpha \right):x - by + cz + d = 0$. Khi đó $S = 3b - c + d$?

Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn ${x^2} + {y^2} = 16$, cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ ta được thiết diện là tam giác đều. Khi đó thể tích của vật thể có dạng $\frac{{a\sqrt 3 }}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $S = a + b$.

Gọi $\left( H \right)$ là hình giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \sqrt x ,y = 2 - x$ và trục hoành. Kí hiệu diện tích hình $\left( H \right)$ là ${S_1}$ và diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2 - x,y = \sqrt x$ và trục $Oy$ là ${S_2}$.

a) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2 - x,x = 0,x = 1$ và trục $Ox$ xung quanh trục $Ox$ bằng $\frac{{7\pi }}{3}$.

b) Giá trị ${S_1} = \frac{7}{6}$.

c) ${S_1} = {S_2}$.

d) Thể tích khối tròn xoay được tạo bởi khi quay hình $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ bằng $\pi$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 1 = 0$ và hai điểm $A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2;1;1} \right)$. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $A,B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $\left( {3; - 2; - 1} \right)$.

b) Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $3x - 2y - z + 3 = 0$.

c) Điểm $M\left( {3;1;2} \right)$ không thuộc mặt phẳng $\left( Q \right)$.

d) Mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với mặt phẳng $\left( R \right):6x - 4y - 2z - 6 = 0$.