Câu hỏi:
19/12/2024 8Cho các số thực a, b không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
\[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}} \le \frac{3}{5}\].
Câu hỏi trong đề:
12 bài tập Chứng minh bất đẳng thức có lời giải !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Xét hiệu \[\frac{3}{5}\] − \[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}}\]
= \[\frac{2}{5}\] − \[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}}\] + \[\frac{1}{5}\] − \[\frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}}\]
= \[\frac{{2{a^2} - 10ab + 8{b^2}}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)}}\] + \[\frac{{3{a^2} + 2{b^2} - 5{b^2}}}{{5\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{2\left( {a - b} \right)\left( {a - 4b} \right)}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)}}\]+ \[\frac{{3\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}{{5\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{2\left( {a - b} \right)\left( {a - 4b} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right) + 3\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {2\left( {a - 4b} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right) + 3\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)} \right]}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {2\left( {a - 4b} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right) + 3\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)} \right]}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {9{a^3} - 21{a^2}b + 16a{b^2} - 4{b^3}} \right]}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}{{\left( {3a - 2b} \right)}^2}}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\] ≥ 0.
Do đó \[\frac{3}{5}\] − \[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}}\] ≥ 0.
Dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc 3a = 2b.
Vậy \[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}} \le \frac{3}{5}\] (đpcm).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho a ≥ 2b. Chứng minh :
a) 2a + 7 > a + 2b + 7;
b) 4b + 4a ≤ 5a + 2b.
Cho a ≥ 2b. Chứng minh :
a) 2a + 7 > a + 2b + 7;
b) 4b + 4a ≤ 5a + 2b.
Xem đáp án »
19/12/2024
22
Câu 2:
Không thực hiện phép tính, hãy so sánh:
a) 2023 + (−19) và 2024 + (−19);
b) \[\sqrt 2 \] + 2 và 4.
c) −3 + 2350 và −2 + 2350.
Xem đáp án »
19/12/2024
20
Câu 4:
Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
\[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c\]
Xem đáp án »
19/12/2024
17
Câu 6:
Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ca(c + a – 2b) ≥ 0
Xem đáp án »
19/12/2024
15
Câu 7:
Chứng minh:
a) \[\sqrt {2025} - \sqrt 5 > \sqrt {2024} - \sqrt 5 \];
b) \[\frac{1}{{2024}}\] + 2023 > \[\frac{1}{{2025}}\] + 2023.
Chứng minh:
a) \[\sqrt {2025} - \sqrt 5 > \sqrt {2024} - \sqrt 5 \];
b) \[\frac{1}{{2024}}\] + 2023 > \[\frac{1}{{2025}}\] + 2023.
Xem đáp án »
19/12/2024
15
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
23 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn thức bậc hai có đáp án
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 02
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
-
21 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 04
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 06
về câu hỏi!