Cho các số thực a, b không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
\[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}} \le \frac{3}{5}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Xét hiệu \[\frac{3}{5}\] − \[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}}\]
= \[\frac{2}{5}\] − \[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}}\] + \[\frac{1}{5}\] − \[\frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}}\]
= \[\frac{{2{a^2} - 10ab + 8{b^2}}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)}}\] + \[\frac{{3{a^2} + 2{b^2} - 5{b^2}}}{{5\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{2\left( {a - b} \right)\left( {a - 4b} \right)}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)}}\]+ \[\frac{{3\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}{{5\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{2\left( {a - b} \right)\left( {a - 4b} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right) + 3\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {2\left( {a - 4b} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right) + 3\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)} \right]}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {2\left( {a - 4b} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right) + 3\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)} \right]}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {9{a^3} - 21{a^2}b + 16a{b^2} - 4{b^3}} \right]}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}{{\left( {3a - 2b} \right)}^2}}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\] ≥ 0.
Do đó \[\frac{3}{5}\] − \[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}}\] ≥ 0.
Dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc 3a = 2b.
Vậy \[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}} \le \frac{3}{5}\] (đpcm).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
Xét hiệu (a2 + b2)2 – ab(a + b)2
= a4 + 2a2b2 + b4 – a3b – 2a2b2 – ab3
= a4 + b4 – a3b – ab3
= a3(a – b) + b3 (b – a)
= (a – b)(a3 – b3)
= (a – b)2(a2 + ab + b2) ≥ 0.
Do đó, (a2 + b2)2 – ab(a + b)2 ≥ 0.
Vậy (a2 + b2)2 ≥ ab.(a + b)2.
Lời giải
Hướng dẫn giải
Xét hiệu A = a2 + b2 + 1 – ab – a – b
2A = 2a2 + 2b2 + 2 – 2ab – 2a – 2b
2A = (a2 – 2ab + b2) + (a2 – 2a + 1) + (b2 – 2b + 1)
2A = (a – b)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 ≥ 0
Suy ra A ≥ 0 hay a2 + b2 + 1 – ab – a – b ≥ 0.
Vậy a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b (đpcm).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập