Câu hỏi:
19/12/2024 89Với các số thực không âm a, b. Chứng minh bất đẳng thức sau:
\[\frac{1}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}\] với a,b ≥ 1.
Câu hỏi trong đề: 12 bài tập Chứng minh bất đẳng thức có lời giải !!
Bắt đầu thiQuảng cáo
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Xét hiệu của bất đẳng thức, ta có:
\[\frac{1}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} - \frac{2}{{1 + ab}}\]
= \[\frac{1}{{{a^2} + 1}} - \frac{1}{{1 + ab}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} - \frac{1}{{1 + ab}}\]
= \[\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {ab + 1} \right)}} \ge 0\]
Suy ra \[\frac{1}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} - \frac{2}{{1 + ab}}\] ≥ 0 .
\[\frac{1}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}\] với a,b ≥ 1.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Chứng minh:
a) \[\sqrt {2025} - \sqrt 5 > \sqrt {2024} - \sqrt 5 \];
b) \[\frac{1}{{2024}}\] + 2023 > \[\frac{1}{{2025}}\] + 2023.
Câu 2:
Cho a ≥ 2b. Chứng minh :
a) 2a + 7 > a + 2b + 7;
b) 4b + 4a ≤ 5a + 2b.
Câu 3:
Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
\[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c\]
Câu 5:
Không thực hiện phép tính, hãy so sánh:
a) 2023 + (−19) và 2024 + (−19);
b) \[\sqrt 2 \] + 2 và 4.
c) −3 + 2350 và −2 + 2350.
Câu 6:
Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ca(c + a – 2b) ≥ 0
Câu 7:
Cho các số thực a, b không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
\[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}} \le \frac{3}{5}\].
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận