Với mọi a, b, chứng minh:
a) \[\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\];
b) \[{a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\].
Với mọi a, b, chứng minh:
a) \[\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\];
b) \[{a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\].
Câu hỏi trong đề: 12 bài tập Chứng minh bất đẳng thức có lời giải !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét hiệu \[\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}{4}\]
\[ = \frac{{2{a^2} + 2{b^2} + {a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{4} \ge 0\].
Do đó, \[\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\] ≥ 0 .
Vậy \[\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\] (đpcm).
b) Xét hiệu a2 + b2 − \[\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\] = \[\frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\]
= \[\frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {a^2} - 2ab - {b^2}}}{2} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\].
Suy ra a2 + b2 − \[\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\] ≥ 0.
Vậy \[{a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\] (đpcm).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Ta có: a ≥ 2b nên cộng hai vế với a ta được: 2a ≥ a + 2b.
Cộng hai vế với 7 được 2a + 7 > a + 2b + 7.
b) Có a ≥ 2b nên a – 2b ≥ 0.
Xét hiệu 5a + 2b – (4b + 4a) = a – 2b ≥ 0 (thỏa mãn).
Do đó 4b + 4a ≤ 5a + 2b.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Ta có: 2025 > 2024 nên \[\sqrt {2025} > \sqrt {2024} \].
Cộng hai vế với −\[\sqrt 5 \] ta được \[\sqrt {2025} - \sqrt 5 > \sqrt {2024} - \sqrt 5 \].
b) Ta có: \[\frac{1}{{2024}}\] > \[\frac{1}{{2025}}\].
Cộng hai vế với 2023 ta được \[\frac{1}{{2024}}\] + 2023 > \[\frac{1}{{2025}}\] + 2023.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập