Câu hỏi:

06/01/2025 19,709

Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi \[x\] là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và \[y\] là phần trăm tổng thu nhập, mô hình \[y = x\] sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz \[y = f\left( x \right)\], biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với \[0 \le x \le 100\], biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm \[2005\], đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số

\[y = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2},0 \le x \le 100\],

trong đó \[x\] được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8^th edition, Cengage Learning, 2009).

a) Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập thực tế của \[60\% \] các gia đình đầu tiên chiếm chưa đến \[30\% \] so với tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.

b) Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo nhất đến giàu nhất, rồi chia thành \[10\] nhóm bằng nhau từ \[1\] đến \[10\], tổng thu nhập của các gia đình trong nhóm \[3\] chiếm khoảng \[8,56\% \] tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.

c) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì năm \[2005\] được xác định bởi công thức:

\[\int\limits_0^{100} {\left[ {x - {{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} \].

d) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ năm \[2005\] đã vượt quá \[2000\].

Câu hỏi trong đề: 50 bài tập Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có lời giải !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+) Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập của \[60\% \] các gia đình đầu tiên chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập là: \[f\left( {60} \right) = 27,321529\,\,\left( \% \right)\].

+) Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo đến giàu, rồi chia thành \[10\] nhóm bằng nhau, mỗi nhóm chiếm \[10\% \] số gia đình của Hoa Kỳ.

Tổng thu nhập của \[30\% \] số gia đình (là các gia đình thuộc nhóm \[1,2,3\]) chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập của tất cả các gia đình là: \[f\left( {30} \right) = 8,561476\,\,\left( \% \right)\].

Tổng thu nhập của \[20\% \] số gia đình (là các gia đình thuộc nhóm \[1,2\]) chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập của tất cả các gia đình là: \[f\left( {20} \right) = 5,774409\,\,\,\left( \% \right)\].

\[ \Rightarrow \] Tỷ lệ của tổng thu nhập các gia đình nhóm thứ \[3\] so với toàn bộ các gia đình là:

\[f\left( {30} \right) - f\left( {20} \right) = 2,787067\,\,\left( \% \right)\].

+) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì vào năm \[2005\] là diện tích hình phẳng \[S\] giới hạn bởi các đồ thị \[y = x\]; \[y = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2}\] và hai đường thẳng $x = 0;x = 100$.

\[ \Rightarrow S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \].

Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng một trong hai cách sau:

Cách 1. Sử dụng máy tính cầm tay, ta thấy phương trình \[{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2} - x = 0\] có hai nghiệm \[x = a\,;x = b\,\,\left( {a < b} \right)\] thuộc \[\left[ {0\,;100} \right]\].

Xét dấu biểu thức \[g\left( x \right) = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2} - x\] ta được:

Vậy \[S = \int\limits_0^{100} {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^a {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_a^b {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_b^{100} {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \]\[ = \int\limits_0^a {g\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^{100} {g\left( x \right){\rm{d}}x} \].

Cách 2.

Sử dụng máy tính cầm tay ta được: \[S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \approx 2068,9\].

Kiểm tra phép tính của đề bài, ta có: \[\int\limits_0^{100} {\left[ {x - {{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} = 2059,3131\].

Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm $2005$ là:

\[S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \approx 2068,9 > 2000\].

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Bình luận

Câu 1:

Một chiếc xe ô tô đang chạy trên đường cao tốc với vận tốc $72\,{\rm{km/h}}$ thì tài xế bất ngờ đạp phanh làm cho chiếc ô tô chuyển động chậm với gia tốc $a\left( t \right) = - \frac{8}{5}t{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Hỏi kể từ khi đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn thì ô tô di chuyển bao nhiêu mét? (Giả sử trên đường ô tô di chuyển không có gì bất thường).

A. $50{\rm{ m}}$.

B. $\frac{{250}}{3}{\rm{ m}}$.

C. $\frac{{200}}{3}{\rm{ m}}$.

D. $\frac{{100}}{3}{\rm{ m}}$.

Xem đáp án » 03/01/2025 26,716

Câu 2:

Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số \[Q'\left( t \right) = 4{t^3} - 72{t^2} + 288t\], trong đó $t$ tính bằng giờ \[\left( {0 \le t \le 13} \right)\], \[Q'\left( t \right)\] tính bằng khách/giờ. Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.

a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số \[Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2}\].

b) Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1 325 người.

c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1 296 người.
d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm \[t = 6\].

Xem đáp án » 06/01/2025 19,672

Câu 3:

Trường Nguyễn Văn Trỗi muốn làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là $2,25$ mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là $3$ mét. Giá thuê làm mỗi mét vuông là $1\,500\,000$ đồng. Vậy số tiền nhà trường phải trả là:

A. $33\,750\,000$ đồng.

B. $3\,750\,000$ đồng.

C. $12\,750\,000$ đồng.

D. $6\,750\,000$ đồng.

Xem đáp án » 06/01/2025 18,556

Câu 4:

Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng \[R\]. Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc \[30^\circ \] ta thu được hai khối gỗ có thể tích là \[{V_1}\] và \[{V_2}\], với .

$Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng \[R\] (ảnh 1)$

Thể tích \[{V_1}\] bằng

A. \[{V_1} = \frac{{2\sqrt 3 {R^3}}}{9}\].

B. \[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 \pi {R^3}}}{{27}}\].

C. \[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 \pi {R^3}}}{{18}}\].

D. \[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 {R^3}}}{{27}}\].

Xem đáp án » 06/01/2025 9,849

Câu 5:

Tìm nguyên hàm $\int {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x} $.

A. $F\left( x \right) = - \cos x - \sin x + C$.

B. $F\left( x \right) = \cos x + \sin x + C$

C. $F\left( x \right) = \cot x - \tan x + C$.

D. $F\left( x \right) = - \cot x - \tan x + C$.

Xem đáp án » 03/01/2025 8,513

Câu 6:

Cho $\int {{5^x}{\rm{d}}x} \, = F\left( x \right) + C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $F'\left( x \right) = {5^x}\ln 5$.

B. $F'\left( x \right) = {5^x} + C$.

C. $F'\left( x \right) = - {5^x}$.

D. $F'\left( x \right) = {5^x}$.

Xem đáp án » 03/01/2025 8,107

Bình luận

Tìm nguyên hàm \(\int {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x} \).

Cho \(\int {{5^x}{\rm{d}}x} \, = F\left( x \right) + C\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Bình luận

Tìm nguyên hàm \(\int {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x} \).

Cho \(\int {{5^x}{\rm{d}}x} \, = F\left( x \right) + C\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu