Cho đường tròn (O; R) với dây cung BC cố định. Điểm A thuộc cung lớn BC. Đường phân giác goác BAC cắt đường tròn (O) tại D, các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại C và D cắt nhau tại E. Tia CD cắt AB tại K, đường thẳng AD cắt CE tại I. Cho BC = \(R\sqrt 3 \). Tính độ dài cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) theo R.

Đáp án đúng là: A

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác).

Vì tam giác ABC cân tại A nên AO vừa là đường cao vừa là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\).

Suy ra \(\widehat {CAO} = \frac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ \).

Gọi I là giao điểm của AO và BC. Xét tam giác \(CAI\) có AC = 4, \(\widehat {CAI} = 50^\circ \) nên

\(\sin \widehat {CAI} = \frac{{CI}}{{AC}}\) suy ra CI = AC.sin CAI = 4.sin50° (cm)

Xét tam giác OAC cân tại O (vì OA = OC) có \(\widehat {OCA} = \widehat {OAC} = 50^\circ \) suy ra

\(\widehat {COA} = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ \).

Xét tam giác CIO vuông tại I có sinCOI = \(\frac{{IC}}{{OC}}\)

suy ra OC = \(\frac{{IC}}{{\sin COI}} = \frac{{4\sin 50^\circ }}{{\sin 80^\circ }} \approx 3,11\).

Nên bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C (đường tròn ngoại tiếp ∆ABC) là R ≈ 3,11 cm.

Chu vi đường tròn (O) là C = 2πR ≈ 6,22π (cm).

Đáp án đúng là: A

Xét đường tròn (I) đường kính AB có \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Nên AD ⊥ BC. Do đó đáp án B đúng.

Gọi K là trung điểm của AC, suy ra KA = KC = KD. Do đó K thuộc đường tròn đường kính AC. Do đó đáp án C đúng.

Ta có ∆IBD cân tại I có \(\widehat B = 60^\circ \), suy ra ∆IBD đều nên \(\widehat {DIB} = 60^\circ \).

Độ dài cung nhỏ BD của (I) là:

l = \(\frac{{\pi .\frac{5}{2}.60}}{{180^\circ }} = \frac{{5\pi }}{6}\) (cm).

Do đó đáp án D đúng.