Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, C là một điểm bất kì nằm giữa A và B. Vẽ đường tròn tâm I, đường kính CA; đường tròn tâm K, đường kính CB.

a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (I) và (K).

b) Đường vuông góc với AB tại C cắt đường tròn (O) ở D và E. DA cắt đường tròn (I) ở M, DB cắt đường tròn (K) ở N.

c) Xác định vị trí của C trên đường kính AB sao cho MN có độ dài lớn nhất.

Đáp án đúng là: B

∆BCD có OO' là đường trung bình suy ra OO' ∕∕ CD.

∆ABC có OI là đường trung bình suy ra OO' ∕∕ CA.

Do đó A, C, D thẳng hàng.

Ta có: ∆BOO' vuông tại B suy ra ∆BCD vuông tại B.

Do đó diện tích tam giác BCD là: S = \(\frac{1}{2}BC.BD = \frac{1}{2}.6.8 = 24\) cm².

Đáp án đúng là: A

Vì P đối xứng với M qua OO', Q là điểm đối xứng với N qua OO' nên MN = QP; P ∈ (O) và Q ∈ (O').

Mà MP ⊥ OO'; NQ ⊥ OO' nên MP ∕∕ NQ mà \(\widehat {NMP} = \widehat {QPM}\) (do \(\widehat {OMN} = \widehat {OPQ};\widehat {OMP} = \widehat {OPM}\)).

Nên MNPQ là hình thang cân.

Có MN là tiếp tuysn chung nên MN ⊥ OM (tính chất) nên \(\widehat {OMN}\) = 90 ° hay \(\widehat {OMP} + \widehat {PMN} = 90^\circ \).

Ta có: OM = OP = R nên ∆OMP cân tại O.

Suy ra \(\widehat {OPM} = \widehat {OMP}\).

Lại có MNPQ là hình thang cân nên \(\widehat {PMN} = \widehat {QPM}\).

Từ đây suy ra \(\widehat {QPM} + \widehat {QPM} = 90^\circ \). Suy ra QP ⊥ OP tại P.

Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt NM tại E và PQ tại F.

Trong đường tròn (O), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: EM = EA và FP = FA.

Trong đường tròn (O'), theo tính chất hai tiếp tuyến bằng nhau ta có:

EN = EA và FQ = FA.

Suy ra EM = EA = EN = \(\frac{1}{2}MN\).

FP = FA = FQ = \(\frac{1}{2}PQ\).

Suy ra MN + PQ = 2EA + 2FA = 2(EA + FA) = 2EF.

Vì EF là đường trung bình của hình thang MNPQ nên

EF = \(\frac{{MP + NQ}}{2}\) hay MP + NQ = 2EF.

Do đó, MN + PQ = MP + NQ.