Xét hai mệnh đề:
(I) f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0
(II) f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I)
B. Chỉ (II)
C. Cả hai đều sai
D. Cả 2 đều đúng.
Quảng cáo
Trả lời:

(I) hiển nhiên đúng.
(II) sai.
Ví dụ: Xét hàm số \[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\left| {\rm{x}} \right|\] ta có
\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{x}}_0}} {\rm{ = }}\left| {{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right|{\rm{ = f}}\left( {{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right) \Rightarrow \] Hàm số liên tục tại trên R. Tuy nhiên hàm số không có đạo hàm tại x = 0
\(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^{}}} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^{}}} \frac{{\left| x \right|}}{x}\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = 1}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - x}}{x} = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{x}\)
Không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.
Đáp án cần chọn là: A
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025 ( 58.000₫ )
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 11 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k8 ( 45.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. a = −1, b = 0
B. a = −1, b = 1
C. a = 1, b = 0
D. a = 1, b = 1
Lời giải
\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \left( {{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + bx}}} \right){\rm{ = a + b = f}}\left( {\rm{1}} \right)\]
\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \left( {{\rm{2x}} - 1} \right) = 1\]
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = f}}\left( {\rm{1}} \right) \Leftrightarrow {\rm{a + b = 1}}\,\,\,\left( {\rm{1}} \right)\]
Khi đó ta có: \[{\rm{f'}}\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + bx}} - \left( {{\rm{a + b}}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{{\rm{a}}\left( {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + b}}\left( {{\rm{x}} - {\rm{1}}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \left[ {{\rm{a}}\left( {{\rm{x + 1}}} \right){\rm{ + b}}} \right] = {\rm{2a + b}}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{\rm{2x}} - {\rm{1}} - \left( {{\rm{a + b}}} \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \frac{{2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} = 2\]
Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì
\[{\rm{f'}}\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( 1 \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( 1 \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} \Leftrightarrow {\rm{2a + b}} = 2\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 1}\\{2a + b = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C
Câu 2
A. a = −2
B. a = 2
C. a = 1
D. \[{\rm{a}} = \frac{1}{2}\]
Lời giải
Để hàm số có đạo hàm của hàm số tại điểm x = 1 thì trước hết hàm số phải liên tục tại x = 1, tức là \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{f}}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{{\rm{x}}^2} - 1}}{{{\rm{x}} - 1}} = {\rm{a}} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \left( {{\rm{x + 1}}} \right){\rm{ = a}} \Leftrightarrow 2 = {\rm{a}}\]
Khi đó hàm số có dạng: \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1}\\{2\,\,khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow {\rm{f'}}\left( {\rm{1}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{\frac{{{{\rm{x}}^2} - 1}}{{{\rm{x}} - 1}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{\rm{x}} + 1 - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} = 1\]
Vậy a = 2.
Đáp án cần chọn là: B
Câu 3
A. Hàm số không liên tục tại x = 0
B. Hàm số có đạo hàm tại x = 2
C. Hàm số liên tục tại x = 2
D. Hàm số có đạo hàm tại x = 0
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. a = −11, b = 11
B. a = −10, b = 10
C. a = −12, b = 12
D. a = −1, b = 1
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\[{\rm{f'}}\left( {\rm{0}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}{\rm{.}}\]
B. \[{\rm{f'}}\left( {\rm{0}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{16}}}}{\rm{.}}\]
C. \[{\rm{f'}}\left( {\rm{0}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{32}}}}{\rm{.}}\]
D. Không tồn tại
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \[\frac{1}{4}\]
B. \[\frac{1}{{16}}\]
C. \[\frac{1}{2}\]
D. 2
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.