Cho nhị thức \({\left( {2x + 2} \right)^4}\).

a) Hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức theo lũy thừa giảm dần của \(x\)là \(96\).

b) Khai triển nhị thức ta được \(16{x^4} + 64{x^3} + 97{x^2} + 64x + 16\).

c) Số hạng chứa \({x^2}\) là \(64{x^2}\).

d) Tổng của tất cả các hệ số của khai triển là \(259\).

Trả lời: −108

Điều kiện :\(n \ge 3;n \in N\)

\(A_n^3 + 2A_n^2 = 48 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n - 3)!}} + 2 \cdot \frac{{n!}}{{(n - 2)!}} = 48\)\( \Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) + 2.n(n - 1) = 48 \Leftrightarrow {n^3} - {n^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow n = 4\) (thỏa)

Ta có \({(1 - 3x)^4} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} {( - 3x)^k} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} {( - 3)^k}{x^k}\).

Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển trên ứng với \(k = 3\).

Vậy hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({(1 - 3x)^4}\) là \(C_4^3 \cdot {( - 3)^3} = - 108\).

Đáp án đúng là: B

Số hạng chứa \({x^2}\) là \(C_4^2{(2x)^2} = C_4^2 \cdot {2^2}{x^2} = 24{x^2}\). Vậy hệ số cần tìm là 24.