Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\). Từ tập hợp \(A\) có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khách nhau sao cho các số này lẻ và không chia hết cho 5. Khi đó, tổng các chữ số của kết quả bằng bao nhiêu?

Trả lời: −108

Điều kiện :\(n \ge 3;n \in N\)

\(A_n^3 + 2A_n^2 = 48 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n - 3)!}} + 2 \cdot \frac{{n!}}{{(n - 2)!}} = 48\)\( \Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) + 2.n(n - 1) = 48 \Leftrightarrow {n^3} - {n^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow n = 4\) (thỏa)

Ta có \({(1 - 3x)^4} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} {( - 3x)^k} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} {( - 3)^k}{x^k}\).

Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển trên ứng với \(k = 3\).

Vậy hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({(1 - 3x)^4}\) là \(C_4^3 \cdot {( - 3)^3} = - 108\).

Đáp án đúng là: A

Xét các số thoả mãn điều kiện có mặt chữ số 1 và 5.

Trường hợp 1: Số có dạng \(\overline {1abcde} \).

Số cách chọn vị trí cho chữ số 5 là 5.

Chọn 4 số trong 6 số còn lại và cho vào 4 vị trí còn lại có \(A_6^4\) cách.

Vậy có \(5 \cdot A_6^4 = 1800\) số.

Trường hợp 2: Số có dạng \(\overline {5abcde} \). Tương tự cũng có \(5 \cdot A_6^4 = 1800\) số.

Trường hợp 3: Số 1 và số 5 không ở vị trí đầu tiên.

Có \(A_5^2\) cách chọn vị trí cho số 1 và số 5.

Chữ số đầu tiên khác 0 và chọn trong \(\{ 2;3;4;6;7\} \) nên có 5 cách chọn.

Chọn 3 số trong 5 số cho 3 vị trí còn lại có \(A_5^3\) cách.

Do đó tạo được \(A_5^2 \cdot 5 \cdot A_5^3 = 6000\) số. Vậy có \(1800 + 1800 + 6000 = 9600\) số.