Cho biểu thức \(M = \left( {\frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2x}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\frac{{x + 1}}{x}\) với \(x \ne - 2,x \ne - 1\) và \(x \ne 0\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn để \(M\) nhận giá trị nguyên?

Gọi quãng đường \(AB\) là \(x\) (\(x > 0\), km).

Thời gian xe tải đi hết quãng đường \(AB\) là \(\frac{x}{{30}}\) (giờ)

Ta có \(\frac{3}{4}\) quãng đường \(AB\) là \(\frac{3}{4}x\) (km), khi đó thời gian ô tô đi hết \(\frac{3}{4}\) quãng đường \(AB\) là:

\(\frac{3}{4}x:45 = \frac{x}{{60}}\) (giờ).

Vận tốc xe con sau khi tăng thêm \({\rm{5 km/h}}\) là: \(45 + 5 = 50\) (km/h).

Quãng đường còn lại là: \(1 - \frac{{3x}}{4} = \frac{x}{4}\) (km).

Thời gian xe con đi hết \(\frac{1}{4}\) quãng đường \(AB\) là \(\frac{x}{4}:50 = \frac{x}{{200}}\) (giờ)

Vì xe con đến \(B\) sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút \(\left( { = \frac{{49}}{{20}}{\rm{ h}}} \right)\) nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{30}} - \left( {\frac{x}{{60}} + \frac{x}{{200}}} \right) = \frac{{49}}{{20}}\).

Giải phương trình, ta được:

\(\frac{x}{{30}} - \left( {\frac{x}{{60}} + \frac{x}{{200}}} \right) = \frac{{49}}{{20}}\)

\(\frac{{20x}}{{600}} - \left( {\frac{{10x}}{{600}} + \frac{{3x}}{{600}}} \right) = \frac{{1{\rm{ }}470}}{{600}}\)

\(\frac{{7x}}{{600}} = \frac{{1{\rm{ }}470}}{{600}}\)

\(7x = 1{\rm{ 470}}\)

\(x = 1{\rm{ 470:7}}\)

\(x = 210\) (thỏa mãn)

Vậy quãng đường \(AB\) dài \(210\)km.

\[
\text{a) Theo đề, ta có } \triangle ABD \sim \triangle ACE
\text{ nên } \widehat{ADB}=\widehat{AEC}
\text{ (hai góc tương ứng).}
\]

\[
\text{Do đó ý a) đúng.}
\]

\[
\text{b) Ta có: } AC=3AE \text{ hay } \frac{AE}{AC}=\frac{1}{3};
\quad AD=\frac{1}{3}AB \text{ hay } \frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}.
\]

\[
\text{Suy ra } \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}.
\text{ Do đó, ý b) đúng.}
\]

\[
\text{c) Xét } \triangle ADE \text{ và } \triangle ABC,\text{ có:}
\]

\[
\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}\quad (\text{cmt})
\]

\[
\widehat{A}\text{ chung (gt)}
\]

\[
\text{Do đó, } \triangle ADE\sim\triangle ABC\text{ (c.g.c)}
\]

\[
\text{Do đó, ý c) sai.}
\]

\[
\text{d) Vì } \triangle ABD\sim\triangle ACE
\text{ nên } \widehat{ABD}=\widehat{ACE}
\text{ (2 góc tương ứng) (1)}
\]

\[
\text{Lại có, } \widehat{EIB}=\widehat{DIC}
\text{ (hai góc đối đỉnh) (2)}
\]

\[
\text{Từ (1) và (2) suy ra }
\triangle EIB\sim\triangle DIC\text{ (g.g)}
\]

\[
\text{Suy ra } \frac{IE}{ID}=\frac{IB}{IC}
\text{ suy ra } IE.IC=IB.ID.
\]

\[
\text{Do đó, ý d) đúng.}
\]