Cho biểu thức \(B = \left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \frac{x}{{3 - x}} - \frac{{3 - 10x}}{{{x^2} - 9}}} \right):\frac{{x + 2}}{{x - 3}}\) với \(x \ne 3;x \ne - 3\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để \(B\) nhận giá trị nguyên?

Gọi \(x\) là số cây đội I trồng được trong tháng trước \(\left( {0 < x < 700,{\rm{ }}x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Khi đó, số cây đội II trồng được trong tháng trước là \(700 - x\) (cây).

Số cây đội I trồng được trong tháng này là \(160\% .x = 1,6x\) (cây)

Số cây mà đội II trồng được trong tháng này là \(140\% \left( {700 - x} \right) = 980 - 1,4x\).

Theo đề, tháng này cả hai đội trồng được \(1{\rm{ }}100\) cây, do đó ta có phương trình:

\(1,6x + 980 - 1,4x = 1{\rm{ }}100\)

Giải phương trình, ta được:

\(1,6x + 960 - 1,4x = 1{\rm{ }}100\)

\(980 + 0,2x = 1{\rm{ }}100\)

\(0,2x = 1{\rm{ }}100 - 980\)

\(0,2x = 120\)

\(x = 600\) (thỏa mãn)

Vậy tháng trước đội I trồng được \(600\) cây, đội II trồng được \(100\) cây.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABC\), ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\({6^2} + {8^2} = B{C^2}\)

\(B{C^2} = 100\) nên \(BC = 10{\rm{ cm}}\).

b) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CAB\) có \(\widehat {BAC} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {ABC} = \widehat {ABH}\) (góc chung)

Suy ra \(\Delta ABH \sim \Delta CAB\) (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CB}} = \frac{{AB}}{{CA}}\) hay \(AH.BC = AB.AC\).

Từ giả thiết, ta có: \(\widehat {CAB} = \widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \) nên \(AMHN\) là hình chữ nhật.

Do \(AMHN\) là hình chữ nhật nên ta có \(\widehat {ANM} = \widehat {AHM}\) (so le trong)

Mặt khác \(\widehat {AHM} = \widehat {ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat {HAB}\))

Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {ABC}\)

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có: \(\widehat {MAN} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ANM} = \widehat {ABC}\) (cmt)

Suy ra \(\Delta AMN \sim \Delta ACB\) (g.g)

c) Do \(\Delta AMN \sim \Delta ACB\) nên ta có: \(\frac{{{S_{ANM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{M{N^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{H^2}}}{{B{C^2}}}\)

(do \(AMHN\) là hình chữ nhật nên \(AH = MN\)).

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = 24{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Lại có, \(AH.BC = AB.AC\) nên \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8\) cm.

Do đó, \(\frac{{{S_{ANM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{A{H^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{4,{8^2}}}{{{{10}^2}}} = 0,2304\) suy ra \({S_{ANM}} = 0,2304.{S_{ABC}} = 5,5296{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).

Ta có: \({S_{ANM}} + {S_{BMNC}} = {S_{ABC}}\) nên \({S_{BMNC}} = {S_{ABC}} - {S_{AMN}} = 24 - 5,5296 = 18,4704{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Vậy \({S_{BMNC}} = 18,4704{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).