Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 8{\rm{ cm,}}\) \(AC = 6{\rm{ cm}}\). Có \(M,N\) là trung điểm của \(AB,AC\).

a) Tính độ dài \(BC,MN\).

b) Vẽ phân giác \(AD\) với \(D \in BC\). Tính độ dài \(BD\).

c) Chứng minh rằng \(BD.AN = AM.DC.\)

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\({8^2} + {6^2} = B{C^2}\)

\(B{C^2} = 100\) suy ra \(BC = 10{\rm{ cm}}\).

Có \(M,N\) là trung điểm của \(AB,AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Do đó, \(MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.10 = 5{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

b) Có \(AD\) là phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) suy ra \(\frac{{BD}}{{DC + BD}} = \frac{{AB}}{{AC + AB}}\) suy ra \(\frac{{BD}}{{10}} = \frac{6}{{14}}\).

Do đó, \(BD = \frac{{10.6}}{{14}} = \frac{{30}}{7}{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

c) Có \(AD\) là phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Lại có \(MN\parallel BC\) suy ra \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) hay \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) hay \(BD.AN = AM.DC\) (đpcm).