Cho đường tròn tâm đường kính và điểm nằm trên đường tròn này sao cho

a)  

b) Đường tròn là đường tròn nội tiếp tam giác

c) Điểm nằm trên cung nhỏ thì

d) Nếu thì bán kính đường tròn ngoại tiếp là

Giả sử điểm chia đoạn thẳng thành hai đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán,

Gọi độ dài của   suy ra

Theo đề bài, bạn An chia đoạn thẳng thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn nên ta có hay .

Giải phương trình:

Giải phương trình trên ta được

Ta thấy chỉ có giá trị thỏa mãn điều kiện.

Vậy tỉ số cần tìm là

Xét phương trình

Ta có

  với mọi .

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi .

Vì với mọi nên ta có phương trình  luôn có hai nghiệm là:

Trường hợp 1: 

Mà nên hay .

Theo bài,

hoặc

(không thỏa mãn) hoặc (thỏa mãn).

Trường hợp 2: 

Mà nên hay .

Theo bài,

 (vô lí vì

Vậy  thỏa mãn yêu cầu đề bài.