Người ta muốn dựng một khung cổng hình vuông \[ABCD\] có độ dài cạnh bằng \[3{\rm{ cm}}\] được bao bởi một khung thép có dạng nửa đường tròn tâm \(F\) bán kính \[FA\] (như hình 3).

a) Độ dài đoạn thẳng \[OA\] là \(1,5\sqrt 2 \;\,{\rm{m}}\).

Ta có \(F\) là trung điểm của \(CD\) nên \(FD = FC = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta ADF\) vuông tại \(D\), theo định lí Pythagore, ta có:

\(F{A^2} = A{D^2} + D{F^2} = {3^2} + 1,{5^2} = 11,25\).

Suy ra \(FA = \sqrt {11,25} = 1,5\sqrt 5 {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Do đó \(HG = 2FA = 2 \cdot 1,5\sqrt 5 = 3\sqrt 5 {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Độ dài cung \[GAH\] là \(\pi \cdot FA = \pi \cdot 1,5\sqrt 5 = 1,5\sqrt 5 \pi {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích cần sơn là \(\frac{1}{2}\pi \cdot F{A^2} - {S_{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot 3,14 \cdot {\left( {1,5\sqrt 5 } \right)^2} - {3^2} = 8,6625{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Số tiền sơn là \(8,6625 \cdot 30\,\,000 \approx 260\,\,000\) (đồng).