Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 67 đến 69

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 5}}{{x - 1}}\), với \(m\) là tham số thực.

Với \(m = 0\), giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {2\,;\,4} \right]\) là:

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có \(y' = \frac{{ - {x^2} + 2x - 2m + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi \(y' \le 0,\,\forall x \ne 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\\\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} + \left( { - 2m + 3} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 2\). Chọn C.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là nghiệm của phương trình \(\frac{{ - {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 5}}{{x - 1}} = x + 3 \Leftrightarrow g\left( x \right) = {x^2} - mx + 1 = 0,\,\,\forall x \ne 1\).

Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại hai điểm phân biệt \(M,\;{\kern 1pt} N\) khi và chỉ khi phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khác \(1\), tức phải có \[\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\{1^2} - m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m > 2\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m > 2\end{array} \right.\].

Giả sử \({x_1},\;{\kern 1pt} {x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\).

Áp dụng định lí Vi-et cho \({x_1},\;{\kern 1pt} {x_2}\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = m\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 1.\end{array} \right.\)

Ta có \(M\left( {{x_1};{x_1} + 3} \right),\;{\kern 1pt} N\left( {{x_2};{x_2} + 3} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :2x - y + 5 = 0\).

Khi đó \[d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{x_1} + 2} \right|}}{{\sqrt 5 }},\,{\kern 1pt} d\left( {N,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{x_2} + 2} \right|}}{{\sqrt 5 }}\].

\[ \Rightarrow d\left( {M,\Delta } \right) \cdot d\left( {N,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)} \right|}}{5}\]\[ = \frac{{\left| {{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} \right|}}{5} = \frac{{\left| {5 + 2m} \right|}}{5}\].

Mà \[d\left( {M,\Delta } \right) \cdot d\left( {N,\Delta } \right) \le \frac{7}{5} \Leftrightarrow \frac{{\left| {5 + 2m} \right|}}{5} \le \frac{7}{5} \Leftrightarrow \left| {5 + 2m} \right| \le 7 \Rightarrow - 6 \le m \le 1\].

Kết hợp với điều kiện suy ra \[ - 6 \le m < - 2\]. Chọn B.