Câu 28-30. (1,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H.\) Lấy \(N\) là trung điểm của cạnh \(AC\), hai đoạn thẳng \(BN\) và cạnh \(AH\) cắt nhau tại \(G.\) Trên tia đối của \(NG\) lấy điểm \(K\) sao cho \(NK = NG.\)

a) Chứng minh rằng \(\Delta ABH = \Delta ACH.\)

b) Xét \(\Delta AGN\) và \(\Delta CKN\), có:

\(NK = NG\) (gt)

\(AN = NC\) (gt)

\(\widehat {ANG} = \widehat {KNC}\) (đối đỉnh)

Do đó, \(\Delta AGN = \Delta CKN\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AGN} = \widehat {CKN}\) (hai cạnh tương ứng).

Mà hai góc ở vị trí so le trong.

Suy ra \(AG\parallel CK\) hay \(AH\parallel CK\).

Lại có \(AH \bot BC\) nên \(CK \bot BC\).

c) Ta có \(BN,AH\) là các đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).

Mà \(BN\) và cạnh \(AH\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Ta có \(BK = BN + NK = 3GN + NK = 3GN + GN = 4GN\).

Mà theo bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, có \(BC + KC > BK\).

Suy ra \(4GN < BC + CK\). (1)

Có \(\Delta AGN = \Delta CKN\) (câu b) nên \(AG = CK\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta MAG\) và \(\Delta NAG\) có:

\(AM = AN = \frac{1}{2}AB\)

\(\widehat {MAG} = \widehat {NAG}\) (\(AG\) vừa là trung tuyến, vừa là phân giác trong \(\Delta ABC\) cân)

\(AG\) chung

Do đó, \(\Delta MAG = \Delta NAG\) (c.g.c)

Suy ra \(MG = NG\) (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(4GN < BC + CK\) hay \(4GM < BC + AG\) nên \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\) (đpcm).