Máy chiếu xạ sử dụng nguồn phóng xạ \({\beta ^ - }\)cobalt \(_{27}^{60}{\rm{Co}}\) với chu kì bán rã 5,27 năm để điều trị ung thư. Nguồn phóng xạ trong máy sẽ cần được thay mới nếu như độ phóng xạ của nó giảm còn bằng \(50\% \) độ phóng xạ ban đầu. Các phát biểu dưới đây là đúng hay sai?

a) Sản phẩm phân rã của cobalt \(_{27}^{60}{\rm{Co}}\) là nickel \(_{28}^{61}{\rm{Ni}}\).

b) Hằng số phóng xạ của cobalt \(_{27}^{60}{\rm{Co}}\) là \(0,132\;{{\rm{s}}^{ - 1}}\).

c) Nguồn phóng xạ của máy cần được thay thế sau mỗi 5,27 năm.

d) Tại thời điểm thay nguồn phóng xạ, số hạt nhân \(_{27}^{60}{\rm{Co}}\) còn lại trong nguồn bằng \(50\% \) số hạt nhân \(_{27}^{60}{\rm{Co}}\) ban đầu.

 \(\Delta N = {N_0}(1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}) = \frac{{12}}{{60}}.6,{02.10^{23}}.(1 - {2^{ - \frac{{10,54}}{{5,27}}}}) = 9,{03.10^{22}}\) hạt nhân.

Đáp án: 9,03.10²².

Gọi số hạt nhân \(_{84}^{210}{\rm{Po}}\) và số hạt nhân \(_{82}^{206}\;{\rm{Pb}}\) tại thời điểm ban đầu là \({N_{0{\rm{Po}}}}\) và \({N_{0\;{\rm{Pb}}}}\)

Sau thời gian t, số hạt nhân \(_{84}^{210}{\rm{Po}}\) còn lại là: \(N = {N_{0{\rm{Po}}}}{2^{ - \frac{t}{T}}}\).

Số hạt nhân \(_{82}^{206}\;{\rm{Pb}}\) mới được tạo thành bằng số hạt nhân \(_{84}^{210}{\rm{Po}}\) đã mất đi:

\(\Delta N = {N_{0Po}}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)\)

Tại thời điểm \({t_1}\), tỉ số giữa số hạt nhân \(_{82}^{206}\;{\rm{Pb}}\) và số hạt nhân \(_{84}^{210}{\rm{Po}}\) là:

\(\frac{{{N_{{\rm{0Pb}}}} + \Delta {N_1}}}{{{N_1}}} = \frac{{{N_{{\rm{0Pb}}}} + {N_{{\rm{0Po}}}}\left( {1 - {2^{ - \frac{{{t_1}}}{T}}}} \right)}}{{{N_{{\rm{0Po}}}}{2^{ - \frac{{{t_1}}}{T}}}}} = 1\)\( \Rightarrow \frac{{{N_{{\rm{0Pb}}}}}}{{{N_{{\rm{0Po}}}}}}{2^{\frac{{{t_1}}}{T}}} + {2^{\frac{{{t_1}}}{T}}} - 1 = 1 \Rightarrow \left( {\frac{{{N_{{\rm{0Pb}}}}}}{{{N_{{\rm{0Po}}}}}} + 1} \right){2^{\frac{{{t_1}}}{T}}} = 2\) (1)

Tại thời điểm t₂, tỉ số giữa số hạt nhân \(_{82}^{206}\;{\rm{Pb}}\) và số hạt nhân \(_{84}^{210}{\rm{Po}}\) là:

\(\frac{{{N_{0Pb}} + \Delta {N_2}}}{{{N_2}}} = \frac{{{N_{{\rm{0Pb}}}} + {N_{{\rm{0Po}}}}\left( {1 - {2^{ - \frac{{{t_2}}}{T}}}} \right)}}{{{N_{{\rm{0Po}}}}{2^{ - \frac{{{t_2}}}{T}}}}} = 7\)\( \Rightarrow \frac{{{N_{{\rm{0Pb}}}}}}{{{N_{{\rm{0Po}}}}}}{2^{\frac{{{t_2}}}{T}}} + {2^{\frac{{{t_2}}}{T}}} - 1 = 7 \Rightarrow \left( {\frac{{{N_{{\rm{0Pb}}}}}}{{{N_{{\rm{0Po}}}}}} + 1} \right){2^{\frac{{{t_2}}}{T}}} = 8\) (2)

Chia (2) cho (1) theo từng vế: \(\frac{{{2^{\frac{{{t_2}}}{T}}}}}{{{2^{\frac{{{t_1}}}{T}}}}} = 4 \Rightarrow {2^{\frac{{{t_2} - {t_1}}}{T}}} = 4 \Rightarrow {2^{\frac{{2,52{t_1}}}{T}}} = {2^2} \Rightarrow \frac{{2,52{t_1}}}{T} = 2 \Rightarrow \frac{{{t_1}}}{T} = \frac{{50}}{{63}}\)

Thay vào (1) ta tìm được tỉ số: \(\frac{{{N_{{\rm{0Pb}}}}}}{{{N_{{\rm{0Po}}}}}} = 0,154.\)

Đáp án: 0,154.