Câu hỏi:

06/05/2025 211

Câu 17-18. (2,0 điểm) Qua điểm \(P\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ hai tiếp tuyến \(PC\)\(PN.\) Đường thẳng qua \(P\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(A\)\(B\,\,\left( {PA < PB} \right)\) sao cho ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) nằm cùng một phía đối với \(PO.\) Vẽ đường kính \(CD\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB.\)

1) Chứng minh tứ giác \(PCMO\) nội tiếp và \(PO\,{\rm{//}}\,ND.\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

v (ảnh 1)

1) Ta có \(PC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\) nên suy ra \(PC \bot OC\)

Do đó \(\widehat {PCO} = 90^\circ \) nên \(\Delta PCO\) vuông tại \(C\)

Suy ra \(\Delta PCO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(PO.\)

Như vậy, ba điểm \[P,\,\,C,\,\,O\] thuộc đường tròn đường kính \(PO.\) (1)

Xét \(\Delta OAB\)\(OA = OB\) nên \(\Delta OAB\) cân tại \(O\)\(OM\) là đường trung tuyến nên \(OM\) là đường cao của \(\Delta OAB\) suy ra \(OM \bot AB\) nên \(\widehat {OMP} = 90^\circ \)

Do đó \(\Delta PMO\) vuông tại \(M\)

Suy ra \(\Delta PMO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(PO.\)

Như vậy, ba điểm \(P,\,\,M,\,\,O\) thuộc đường tròn đường kính \(PO.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(P,\,\,C,\,\,M,\,\,O\) thuộc đường tròn đường kính \(PO.\)

Do đó tứ giác \(PCMO\) nội tiếp.

Ta có \(PC\)\(PN\) là hai tiếp tuyến cắt nhau của đuờng tròn \(\left( O \right)\)

Suy ra \(OP\) là tia phân giác của góc \(\widehat {CON},\) do đó \(\widehat {COP} = \frac{1}{2}\widehat {CON}\)

\(\widehat {CDN} = \frac{1}{2}\widehat {CON}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung của \(\left( O \right)).\)

Suy ra \(\widehat {CDN} = \widehat {COP}.\) Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên \(PO\,{\rm{//}}\,ND.\)

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

2) Gọi \(E\) là giao điểm của \(PO\)\[BD.\] Tia \(CE\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(K.\) Chứng minh \(CM \cdot OD = OE \cdot AM\) và ba điểm \(A,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng.

Xem lời giải

verified Lời giải của GV VietJack

2) Xét đường tròn đường kính \(PO\) có: \(\widehat {CMP} = \widehat {COP}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CP)\)

\(\widehat {COP} = \widehat {EOD}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\widehat {CMP} = \widehat {EOD}.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có \(\widehat {CAB} = \widehat {CDB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn

Xét \(\Delta ACM\)\(\Delta DEO\) có: \(\widehat {CMA} = \widehat {EOD}\)\(\widehat {CAM} = \widehat {EDO}\)

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{CM}}{{EO}} = \frac{{AM}}{{DO}}\) nên \(CM \cdot OD = OE \cdot AM.\)

Ta có nên \(\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{AM}}{{DO}}\) do đó \(\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{2AM}}{{2DO}}.\)

\(AB = 2AM\) (vì \(M\) là trung điểm của \(AB)\)\(DC = 2DO\) (vì \(O\) là trung điểm của \(CD)\)

Suy ra \(\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{DC}}.\)

Xét \(\Delta ACB\)\(\Delta DEC\) có: \(\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{DC}}\)\(\widehat {CAB} = \widehat {EDC}\)

Do đó  (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {CBA} = \widehat {ECD}\) (hai góc tương ứng).

\(\widehat {CBA} = \widehat {CDA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn

Do đó \(\widehat {ECD} = \widehat {CDA}\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(CE\,{\rm{//}}\,AD.\) (3)

Ta có \(\widehat {CAD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(AD \bot AC\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AC \bot CE.\)

Do đó \(\widehat {ACK} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ACK}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right),\) suy ra \(A,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tất cả các giá trị của \(x\) để biểu thức \(P = 2025\sqrt {2026 - x} \) có nghĩa là

Xem đáp án » 06/05/2025 624

Câu 2:

(1,0 điểm) Một chi tiết máy có dạng hình trụ với bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 17 cm. Người ta khoan rỗng ở giữa chi tiết máy đó một lỗ cũng có dạng hình trụ có bán kính đáy và độ sâu bằng 6 cm (như hình vẽ). Tính thể tích của phần chi tiết máy còn lại sau khi khoan (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai của đơn vị tính).

Tính thể tích của phần chi tiết máy còn lại sau khi khoan (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai của đơn vị tính). (ảnh 1)

Xem đáp án » 06/05/2025 460

Câu 3:

Một hồ nước hình tròn, mặt hồ có đường kính 20 m, quanh hồ có một lối đi hình vành khăn rộng 2 m. Diện tích lối đi bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của m2)

Diện tích lối đi bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của m2)   	 (ảnh 1)

Xem đáp án » 06/05/2025 312

Câu 4:

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy 4 cm và độ dài đường sinh \[10{\rm{\;cm}}\]

Xem đáp án » 06/05/2025 284

Câu 5:

(1,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

     Tiền cước điện thoại \(y\) (nghìn đồng) là số tiền mà người sử dụng cần trả hằng tháng, số tiền đó phụ thuộc vào thời gian gọi \(x\) (phút) của người đó trong tháng. Mối liên hệ giữa hai đại lượng này là một hàm số bậc nhất \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right).\) Hãy xác định hàm số trên trong trường hợp mẹ bạn An trong tháng 1/2025 đã gọi 100 phút với số tiền cước là 40 nghìn đồng và trong tháng 2/2025 đã gọi 40 phút với số tiền cước là 28 nghìn đồng.

Xem đáp án » 06/05/2025 153

Câu 6:

1) Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{2}{{\sqrt 2 + 1}} - \sqrt {9 - 4\sqrt 2 } .\)

Xem đáp án » 06/05/2025 152
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay