Câu 17-18. (2,0 điểm) Qua điểm \(P\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ hai tiếp tuyến \(PC\) và \(PN.\) Đường thẳng qua \(P\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\,\,\left( {PA < PB} \right)\) sao cho ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) nằm cùng một phía đối với \(PO.\) Vẽ đường kính \(CD\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB.\)
1) Chứng minh tứ giác \(PCMO\) nội tiếp và \(PO\,{\rm{//}}\,ND.\)
Câu 17-18. (2,0 điểm) Qua điểm \(P\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ hai tiếp tuyến \(PC\) và \(PN.\) Đường thẳng qua \(P\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\,\,\left( {PA < PB} \right)\) sao cho ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) nằm cùng một phía đối với \(PO.\) Vẽ đường kính \(CD\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB.\)
1) Chứng minh tứ giác \(PCMO\) nội tiếp và \(PO\,{\rm{//}}\,ND.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) ⦁ Ta có \(PC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\) nên suy ra \(PC \bot OC\)
Do đó \(\widehat {PCO} = 90^\circ \) nên \(\Delta PCO\) vuông tại \(C\)
Suy ra \(\Delta PCO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(PO.\)
Như vậy, ba điểm \[P,\,\,C,\,\,O\] thuộc đường tròn đường kính \(PO.\) (1)
Xét \(\Delta OAB\) có \(OA = OB\) nên \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) có \(OM\) là đường trung tuyến nên \(OM\) là đường cao của \(\Delta OAB\) suy ra \(OM \bot AB\) nên \(\widehat {OMP} = 90^\circ \)
Do đó \(\Delta PMO\) vuông tại \(M\)
Suy ra \(\Delta PMO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(PO.\)
Như vậy, ba điểm \(P,\,\,M,\,\,O\) thuộc đường tròn đường kính \(PO.\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(P,\,\,C,\,\,M,\,\,O\) thuộc đường tròn đường kính \(PO.\)
Do đó tứ giác \(PCMO\) nội tiếp.
⦁ Ta có \(PC\) và \(PN\) là hai tiếp tuyến cắt nhau của đuờng tròn \(\left( O \right)\)
Suy ra \(OP\) là tia phân giác của góc \(\widehat {CON},\) do đó \(\widehat {COP} = \frac{1}{2}\widehat {CON}\)
Mà \(\widehat {CDN} = \frac{1}{2}\widehat {CON}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung của \(\left( O \right)).\)
Suy ra \(\widehat {CDN} = \widehat {COP}.\) Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên \(PO\,{\rm{//}}\,ND.\)
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Gọi \(E\) là giao điểm của \(PO\) và \[BD.\] Tia \(CE\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(K.\) Chứng minh \(CM \cdot OD = OE \cdot AM\) và ba điểm \(A,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng.
2) Gọi \(E\) là giao điểm của \(PO\) và \[BD.\] Tia \(CE\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(K.\) Chứng minh \(CM \cdot OD = OE \cdot AM\) và ba điểm \(A,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng.
Giải bởi Vietjack
2) ⦁ Xét đường tròn đường kính \(PO\) có: \(\widehat {CMP} = \widehat {COP}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CP)\)
Mà \(\widehat {COP} = \widehat {EOD}\) (hai góc đối đỉnh)
Suy ra \(\widehat {CMP} = \widehat {EOD}.\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có \(\widehat {CAB} = \widehat {CDB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn
Xét \(\Delta ACM\) và \(\Delta DEO\) có: \(\widehat {CMA} = \widehat {EOD}\) và \(\widehat {CAM} = \widehat {EDO}\)
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{CM}}{{EO}} = \frac{{AM}}{{DO}}\) nên \(CM \cdot OD = OE \cdot AM.\)
⦁ Ta có nên \(\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{AM}}{{DO}}\) do đó \(\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{2AM}}{{2DO}}.\)
Mà \(AB = 2AM\) (vì \(M\) là trung điểm của \(AB)\) và \(DC = 2DO\) (vì \(O\) là trung điểm của \(CD)\)
Suy ra \(\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{DC}}.\)
Xét \(\Delta ACB\) và \(\Delta DEC\) có: \(\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{DC}}\) và \(\widehat {CAB} = \widehat {EDC}\)
Do đó (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {CBA} = \widehat {ECD}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat {CBA} = \widehat {CDA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn
Do đó \(\widehat {ECD} = \widehat {CDA}\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(CE\,{\rm{//}}\,AD.\) (3)
Ta có \(\widehat {CAD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(AD \bot AC\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(AC \bot CE.\)
Do đó \(\widehat {ACK} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ACK}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right),\) suy ra \(A,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định của biểu thức \(P = 2025\sqrt {2026 - x} \) là \(2026 - x \ge 0\) tức là \(x \le 2026.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Thể tích chi tiết máy có dạng hình trụ với bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 17 cm là:
\({V_1} = \pi r_1^2{h_1} = \pi \cdot {17^2} \cdot 17 = 4913\pi \)(cm2).
Thể tích lỗ khoan rồng có dạng hình trụ với bán kính đáy và độ sâu bằng 6 cm là:
\({V_2} = \pi r_2^2{h_2} = \pi \cdot {6^2} \cdot 6 = 216\pi \) (cm2).
Thể tích của phần chi tiết máy còn lại sau khi khoan là:
\[V = {V_1} - {V_2} = 4913\pi - 216\pi = 4697\pi = 14\,\,756,06\] (cm2).
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập