Câu 17-18. (2,0 điểm) Qua điểm \(P\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ hai tiếp tuyến \(PC\) và \(PN.\) Đường thẳng qua \(P\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\,\,\left( {PA < PB} \right)\) sao cho ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) nằm cùng một phía đối với \(PO.\) Vẽ đường kính \(CD\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB.\)

1) Chứng minh tứ giác \(PCMO\) nội tiếp và \(PO\,{\rm{//}}\,ND.\)

2) ⦁ Xét đường tròn đường kính \(PO\) có: \(\widehat {CMP} = \widehat {COP}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CP)\)

Mà \(\widehat {COP} = \widehat {EOD}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\widehat {CMP} = \widehat {EOD}.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có \(\widehat {CAB} = \widehat {CDB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn

Xét \(\Delta ACM\) và \(\Delta DEO\) có: \(\widehat {CMA} = \widehat {EOD}\) và \(\widehat {CAM} = \widehat {EDO}\)

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{CM}}{{EO}} = \frac{{AM}}{{DO}}\) nên \(CM \cdot OD = OE \cdot AM.\)

⦁ Ta có nên \(\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{AM}}{{DO}}\) do đó \(\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{2AM}}{{2DO}}.\)

Mà \(AB = 2AM\) (vì \(M\) là trung điểm của \(AB)\) và \(DC = 2DO\) (vì \(O\) là trung điểm của \(CD)\)

Suy ra \(\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{DC}}.\)

Xét \(\Delta ACB\) và \(\Delta DEC\) có: \(\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{DC}}\) và \(\widehat {CAB} = \widehat {EDC}\)

Do đó  (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {CBA} = \widehat {ECD}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {CBA} = \widehat {CDA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn

Do đó \(\widehat {ECD} = \widehat {CDA}\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(CE\,{\rm{//}}\,AD.\) (3)

Ta có \(\widehat {CAD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(AD \bot AC\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AC \bot CE.\)

Do đó \(\widehat {ACK} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ACK}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right),\) suy ra \(A,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng.