Tính nhanh: \(M = \frac{{1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2012}}}}{{{2^{2014}} - 2}}\)

Lời giải:

Xét parabol trên mặt phẳng Oxy có đỉnh I (0; 3) và cắt trục Ox tại hai điểm (-1; 0) và

(1; 0).

Khi đó phương trình của parabol là y = -3x² + 3

Khi đó diện tích một cánh hoa là: \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| { - 3{x^2} + 3} \right|dx} \)= 4 (dm²)

Diện tích 1 hình lục giác đều cạnh bằng 2 dm là: \(6.\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = 6\sqrt 3 \)

Khi đó diện tích của một hình là \(6\sqrt 2  + 6.4 = 24 + 6\sqrt 2 \) (dm²)

Diện tích của bức tường là: 3 ´ 4 = 12 (m²) = 1200 (dm²)

Bạn Hoa có thể vẽ tối đa số hình có cùng kích thước lên bức tường cần trang trí là:

\(\left[ {1200:(24 + 6\sqrt 2 } \right] = 34\)

Vậy bạn Hoa có thể vẽ tối đa 34  hình có cùng kích thước trên lên bức tường cần trang trí

Lời giải:

\[\frac{{\left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \left( {3 - \frac{3}{4}} \right)}}{{\left( {\frac{{10}}{{21}} + \frac{{14}}{{27}} - \frac{{18}}{{33}} + \frac{{22}}{{39}}} \right):\left( {2 - \frac{2}{3}} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \frac{9}{4}}}{{ - \frac{2}{3} \cdot \left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \frac{3}{4}}}\]

\[ = \frac{{\frac{9}{4}}}{{ - \frac{2}{4}}} = \frac{9}{4} \cdot \left( { - 2} \right) =  - \frac{9}{2}.\]