Cho tam giác ABD vuông tại A có AB < AD. Gọi M là trung điểm của BD. Lấy C sao cho M là trung điểm của AC.

a) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

b) Trên tia đối DA lấy E sao cho DA = DE. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh IB = IE.

c) Kẻ AH vuông góc với BD. Lấy K sao cho H là trung điểm của AK. Chứng minh BDCK là hình thang cân.

Lời giải:

a) Xét tứ giác ABCD có M là trung điểm chung của AC và BD

Suy ra ABCD là hình bình hành.

Hình bình hành ABCD có \(\widehat {BAD}\)= 90° nên ABCD là hình chữ nhật.

b) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC và AD = BC.

Mà D ∈ AE nên ED // BC; AD = BC.

Theo đề bài, DA = DE suy ra BC = ED.

Xét tứ giác EDBC có ED // BC; ED = BC.

Do đó EDBC là hình bình hành.

Suy ra EB cắt DC tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của DC nên I là trung điểm của EB

Vậy IE = IB.

c) Xét ΔACK có H, M lần lượt là trung điểm của AK, AC

Suy ra HM là đường trung bình của ΔACK

Suy ra HM // CK nên CK // DB

Xét ΔDAK có DH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Suy ra ΔDAK cân tại D nên DA = DK

Mà DA = BC (ABCD là hình chữ nhật) nên DK = BC

Xét tứ giác BKCD có CK // BD nên BKCD là hình thang.

Hình thang BKCD có CB = DK nên BKCD là hình thang cân