Cho tam giác DEF cân tại D. Trên cạnh DE và DF lần lượt lấy 2 điểm H và K sao cho DH = DK. Gọi giao điểm của EK và FH là O. Chứng minh rằng:

a) EK = FH.

b) ∆HOE = ∆KOF.

c) DO ⊥ EF.

Lời giải:

a) Ta có HE = DE ‒ DH

              KF = DF ‒ DK

Mà DH = DK và DE = DF (do ∆DEF cân tại D)

Suy ra HE = KF

Xét ∆HEF và ∆KFE có:

HE = KF (cmt)

\[\widehat {HEF} = \widehat {KFE}\] (∆DEF cân tại D)

EF là cạnh chung

Do đó ∆HEF = ∆KFE (c-g-c)

Suy ra FH = EK (2 cạnh tương ứng)

b) Theo câu a có ∆HEF = ∆KFE suy ra \[\widehat {{\rm{OEF}}} = \widehat {OFE}\] (2 góc tương ứng)

Xét ∆OEF có \[\widehat {{\rm{OEF}}} = \widehat {OFE}\] nên ∆OEF cân tại O

Do đó OE = OF

Ta có: \[\widehat {{\rm{HEF}}} - \widehat {{\rm{O}}EF} = \widehat {HEO}\]

      và \[\widehat {KFE} - \widehat {{\rm{OF}}E} = \widehat {KFO}\]

Lại có: \[\widehat {HEF} = \widehat {KFE}{\rm{;}}\widehat {{\rm{OF}}E} = \widehat {OFE}\] (cmt)

Suy ra \[\widehat {HEO} = \widehat {KFO}\]

Xét ∆HEO và ∆KFO có:

OE = OF (cmt)

\[\widehat {HEO} = \widehat {KFO}\] (cmt)

HE = KF ( theo a)

Do đó ∆HEO = ∆KFO (c-g-c)

c) Gọi A là giao điểm của DO và EF.

Theo câu b có ∆HEO = ∆KFO nên HO = OK ( 2 cạnh tương ứng )

Xét ∆HDO và ∆KDO có:

DH = DK (gt)

HO = OK (cmt)

DO là cạnh chung

Do đó ∆HDO = ∆KDO (c-c-c)

Xét ∆DCE và ∆DCF có:

DE = DF (∆DEF cân tại D)

\[\widehat {EDC} = \widehat {D{\rm{EF}}}\] (cmt)

DC là cạnh chung 

Do đó ∆DCE = ∆DEF (c-g-c)

Suy ra \[\widehat {DCE} = \widehat {{\rm{DEF}}}\] (2 góc tương ứng)

Khi đó, \(\widehat {DCE} = \widehat {DCF} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) hay DO ⊥ EF.