Câu hỏi:

10/05/2025 179

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi P là giao điểm của BE và DF. Chứng minh rằng:

a) H là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác DEF.

b) \[\frac{{HP}}{{HE}} = \frac{{BP}}{{BE}}.\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

a) H là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác DEF. (ảnh 1)

a) Xét tứ giác BFHD có: \(\widehat {BFH} = \widehat {BDH} = 90^\circ \)

Suy ra BFHD là tứ giác nội tiếp, do đó \[\widehat {FDH} = \widehat {FBH}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HF)

Xét tứ giác CEHD có \(\widehat {CEH} = \widehat {CDH} = 90^\circ \)

Suy ra CEHD là tứ giác nội tiếp, do đó \[\widehat {EDH} = \widehat {ECH}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

Mà góc \[\widehat {FBH} = \widehat {ECH}\] (cùng phụ với góc BAC)

Nên \[\widehat {FDH} = \widehat {EDH}\]

Suy ra DH là phân giác của \[\widehat {FDE}\].

Chứng minh tương tự, ta có EH là tia phân giác của \(\widehat {FED}\)

Do đó H là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác DEF.

b) Xét ∆DPEA có DH là phân giác của \[\widehat {PDE}\] nên \[\frac{{HP}}{{HE}} = \frac{{DP}}{{DE}}.\]

Lại có DH ⊥ DB nên DB là tia phân giác của góc ngoài của ∆PDE tại đỉnh D.

Do đó \(\frac{{DP}}{{DE}} = \frac{{BP}}{{BE}}\)

Suy ra \[\frac{{HP}}{{HE}} = \frac{{BP}}{{BE}}.\]

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a tâm O, SA vuông góc với (ABCD) và SA = 3a. Tính khoảng cách từ C đến (SBD).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Tính khoảng cách từ C đến (SBD). (ảnh 1)

ABCD là hình vuông nên OA = OC

Suy ra d(A, (SBD)) = d(C, (SBD))

Kẻ AH ⊥ SO

BD ⊥ AO, BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAO).

Suy ra BD ⊥ AH.

AH ⊥ (SBD) nên d(A,(SBD)) = AH

Xét tam giác SAO: \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}}\]

SA = 3a, \[AO = a\sqrt 2 \], suy ra \[AH = \frac{{3a\sqrt {22} }}{{11}}\]

Vậy khoảng cách từ C đến (SBD) bằng \[\frac{{3a\sqrt {22} }}{{11}}.\]

Câu 2

Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x ‒ 5 là:

A. (4; 3)

B. (3; ‒1)

C. (‒4; ‒3)

D. (2; 1)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Thay x = 4 vào hàm số y = 2x ‒ 5, ta được: y = 2 . 4 ‒ 5 = 3.

Do đó điểm (4; 3) thuộc đồ thị hàm số y = 2x – 5.

Câu 3