Số nghiệm của phương trình \({\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là:

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\).

Ở đây, thời gian \(t\) tính bằng giây và quãng đường \(x\) tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Cho phương trình \(\tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = 1\) (*).

a) Phương trình (*) có nghiệm \(x = 30^\circ  + k90^\circ \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - 30^\circ \).

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - 180^\circ ;90^\circ } \right)\) bằng \(180^\circ \).

d) Trong khoảng \(\left( { - 180^\circ ;90^\circ } \right)\), phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(60^\circ \).

Cho hàm số \(y = \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) và hàm số\(y = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\).

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\).

b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là \(x = \frac{{5\pi }}{8} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) Điểm  \(M\left( {\frac{{5\pi }}{8};\sin \frac{{5\pi }}{8}} \right)\) là một giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho trên \(\left[ {0\,;2\pi } \right]\).

d) Khi \(x \in \left[ {0\,;3\pi } \right]\) thì hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm lần lượt \[A,B,C\]gọi \[I\]là trung điểm của \[AC\]thì \[I\left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\sin \left( {\frac{{13\pi }}{4}} \right)} \right)\].

Một vật \(M\) được gắn vào đầu lò xo và dao động quanh vị trí cân bằng \(I\), biết rằng \(O\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên trục \(Ox\), toạ độ điểm \(M\) trên \(Ox\) tại thời điểm \(t\) (giây) là đại lượng \(s\) (đơn vị: cm) được tính bởi công thức \(s = 8,6\cos \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right)\).  Tại mấy thời điểm trong khoảng 2 giây đầu tiên thì \(s = 4,3\;\) cm?

Cho phương trình \({\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\).

a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình \(\frac{{1 + \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2}\).

b) Ta có \(\cos \left( {2x + \pi } \right) =  - \cos 2x\).

c) Phương trình đã cho đưa về dạng \(\cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x\).

d) Nghiệm của phương trình đã cho là \(x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \) và $x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$