PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Trong một buổi biểu diễn ở rạp xiếc, người nghệ sĩ có một tiết mục giữ thăng bằng và đạp xe 1 bánh trên 1 sợi dây dài \(30\,\,{\rm{m}}\). Hỏi khi người nghệ sĩ đi hết đoạn dây thì bán kính xe đạp quét một góc lượng giác có số đo là bao nhiêu radian? Biết bánh xe đạp có bán kính bằng \(0,4\,\,{\rm{m}}\).

Ta có $\cos 5x=\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\iff \left[\begin{array}{l}5x=x+\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 5x=-x-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}4x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 6x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{2}\\ x=-\frac{\pi }{24}+k\frac{\pi }{3}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

+ Với nghiệm \(x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2}\) ta có: \( - 2024 \le \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2} \le 2024 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1288,6 \le k \le 1288,4\\k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\).

Suy ra có 2577 nghiệm thoả mãn.

+ Với nghiệm \(x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{3}\) ta có: \( - 2024 \le - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{3} \le 2024 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1932,7 \le k \le 1932,9\\k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\).

Suy ra có 3865 nghiệm thoả mãn.

Vậy có 6442 nghiệm thoả mãn.

Đáp án: 6442.

Ta có \(h = \left| x \right| = \left| {1,5\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right)} \right| \le 1,5\).

Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là \(h = 1,5\,\;{\rm{m}}\).

Khi đó, \(\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) =  \pm 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{t\pi }}{4} = k2\pi }\\{\frac{{t\pi }}{4} = \pi  + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 8k}\\{t = 4 + 8k}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.\).

Vậy trong 10 giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm \(t = 0,t = 4,t = 8\) (giây).

Khi vật ở vị trí cân bằng thì \(x = 0 \Leftrightarrow 1,5\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{t\pi }}{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi  \Rightarrow t = 2 + 4k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy trong khoảng từ 0 đến 20 giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm \(t = 2,\,t = 6,\)\(t = 10,t = 14,t = 18\) (giây); tức là có 5 lần vật qua vị trí cân bằng.

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Đúng,          d) Sai.