Cho phương trình \(\cos 5x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\). Tìm số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 2024;2024} \right]\) của phương trình đã cho.

Ta có \(h = \left| x \right| = \left| {1,5\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right)} \right| \le 1,5\).

Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là \(h = 1,5\,\;{\rm{m}}\).

Khi đó, \(\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) =  \pm 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{t\pi }}{4} = k2\pi }\\{\frac{{t\pi }}{4} = \pi  + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 8k}\\{t = 4 + 8k}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.\).

Vậy trong 10 giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm \(t = 0,t = 4,t = 8\) (giây).

Khi vật ở vị trí cân bằng thì \(x = 0 \Leftrightarrow 1,5\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{t\pi }}{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi  \Rightarrow t = 2 + 4k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy trong khoảng từ 0 đến 20 giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm \(t = 2,\,t = 6,\)\(t = 10,t = 14,t = 18\) (giây); tức là có 5 lần vật qua vị trí cân bằng.

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Đúng,          d) Sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có \[\cos \frac{\pi }{{30}}\cos \frac{\pi }{5} + \sin \frac{\pi }{{30}}\sin \frac{\pi }{5} = \cos \left( {\frac{\pi }{{30}} - \frac{\pi }{5}} \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]