Câu hỏi:

24/05/2025 3,724 Lưu

Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\]. Biết khoảng cách từ đỉnh \[A\] tới mặt phẳng\[\left( {A'BD} \right)\] bằng \[10\]. Tính thể tích nhỏ nhất của khối hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Đáp án: 5196.

c (ảnh 1) 

Gọi độ dài 3 cạnh \[AB,AD,AA'\] lần lượt là \[x,y,z\].

Thể tích của khối \[ABCD.A'B'C'D'\] là: \[V = xyz\].

Kẻ \(AK \bot BD\,\,\left( {K \in BD} \right)\), \(AH \bot A'K\,\,\left( {H \in A'K} \right)\). Ta chứng minh được \(AH \bot \left( {A'BD} \right)\).

Khoảng cách từ\[A\] tới mặt phẳng \[\left( {A'BD} \right)\] bằng \[AH = 10\] nên ta có:

\[\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{{A'}^2}}} = \frac{1}{{{{10}^2}}}\] hay \[\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{1}{{100}}\].

Ta cần tìm GTNN của biểu thức \[V = xyz\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm \[\frac{1}{{{x^2}}}\], \[\frac{1}{{{y^2}}}\], \[\frac{1}{{{z^2}}}\] ta được:

\[\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^2}}} \cdot \frac{1}{{{y^2}}} \cdot \frac{1}{{{z^2}}}}}\]\[ \Rightarrow \frac{1}{{100}} \ge 3 \cdot \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2} \cdot {y^2} \cdot {z^2}}}}}\]\[ \Rightarrow x \cdot y \cdot z \ge \sqrt {{{300}^3}} \approx 5196\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[x = y = z = 10\sqrt 3 \] (TM).

Vậy thể tích nhỏ nhất của khối hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] là 5196 (đơn vị thể tích).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án: 50.

Ta có giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(p\left( x \right) = 90 - 0,01{x^2}\) (triệu đồng).

Nên bán \(x\) tấn sản phẩm thu được \(\left( {90 - 0,01{x^2}} \right)x\) (triệu đồng). Điều kiện \(0 < x \le 100\).

Lợi nhuận hàng tháng của nhà máy \(A\) khi sản xuất và bán \(x\) tấn sản phẩm cho nhà máy \(B\) là:

\(L\left( x \right) = \left( {90 - 0,01{x^2}} \right)x \cdot 90\%  - \frac{1}{2}\left( {200 + 27x} \right)\) (triệu đồng).

Hay \(L\left( x \right) =  - 0,009{x^3} + 67,5x - 100\).

Xét hàm số \(L\left( x \right) =  - 0,009{x^3} + 67,5x - 100\) trên nửa khoảng \(\left( {0;100} \right]\):

\(L'\left( x \right) =  - 0,027{x^2} + 67,5\);

\(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 0,027{x^2} + 67,5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2500 \Rightarrow x = 50\).

Bảng biến thiên:

c (ảnh 1)

Như vậy nhà máy \(A\) cần sản xuất và bán \(50\) tấn sản phẩm cho nhà máy \(B\) mỗi tháng để thu được lợi nhuận cao nhất.

Câu 2

A. \[y = \frac{{3 - {x^2}}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\].                                  
B. \[y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{1 - 2x}}\].                                
C. \[y = \frac{{x + 1}}{{2x + 1}}\].                                  
D. \[y = \frac{{2x + 1}}{{1 - x}}\].

Lời giải

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3 - {x^2}}}{{2{x^2} - 3x + 1}} =  - \frac{1}{2}\] nên đồ thị hàm số \[y = \frac{{3 - {x^2}}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\] có tiệm cận ngang là đường thẳng \[y =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2y + 1 = 0\]. Chọn A.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP