Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\]. Biết khoảng cách từ đỉnh \[A\] tới mặt phẳng\[\left( {A'BD} \right)\] bằng \[10\]. Tính thể tích nhỏ nhất của khối hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 50.

Ta có giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(p\left( x \right) = 90 - 0,01{x^2}\) (triệu đồng).

Nên bán \(x\) tấn sản phẩm thu được \(\left( {90 - 0,01{x^2}} \right)x\) (triệu đồng). Điều kiện \(0 < x \le 100\).

Lợi nhuận hàng tháng của nhà máy \(A\) khi sản xuất và bán \(x\) tấn sản phẩm cho nhà máy \(B\) là:

\(L\left( x \right) = \left( {90 - 0,01{x^2}} \right)x \cdot 90\%  - \frac{1}{2}\left( {200 + 27x} \right)\) (triệu đồng).

Hay \(L\left( x \right) =  - 0,009{x^3} + 67,5x - 100\).

Xét hàm số \(L\left( x \right) =  - 0,009{x^3} + 67,5x - 100\) trên nửa khoảng \(\left( {0;100} \right]\):

\(L'\left( x \right) =  - 0,027{x^2} + 67,5\);

\(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 0,027{x^2} + 67,5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2500 \Rightarrow x = 50\).

Bảng biến thiên:

Như vậy nhà máy \(A\) cần sản xuất và bán \(50\) tấn sản phẩm cho nhà máy \(B\) mỗi tháng để thu được lợi nhuận cao nhất.

Đáp án: 711.

Chu vi của đường tròn có bán kính bằng 4 là \(2 \cdot 4\pi  \approx 25,133\).

Như vậy khi trải miếng bánh có đường kính 20 thì còn thừa hai đầu là \(2 \cdot 4\pi  - 20 \approx 5,133\).

Xét mặt cắt ngang của miếng bánh, mỗi mặt cắt vuông góc với trục tọa độ \(Ox\) là một hình quạt.

Gọi \(x\,,\, - 10 \le x \le 10\) là hoành độ của mặt phẳng cắt trên. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Ta có .

Diện tích mặt cắt

\[S\left( x \right) = \frac{{MN}}{2} \cdot R - {S_{\Delta IMN}} = \frac{{2\sqrt {{{10}^2} - {x^2}}  \cdot 4}}{2} - \frac{1}{2}{4^2}\sin \left( {\frac{{\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} }}{2}} \right) = 4\sqrt {{{10}^2} - {x^2}}  - 8\sin \left( {\frac{{\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} }}{2}} \right)\].

Khi đó thể tích chiếc bánh là:

\[V = 2\int\limits_0^{10} {S\left( x \right){\rm{d}}x = } 2\int\limits_0^{10} {\left[ {4\sqrt {{{10}^2} - {x^2}}  - 8\sin \left( {\frac{{\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} }}{2}} \right)} \right]{\rm{d}}x \approx 711\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)} \].