Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\]. Biết khoảng cách từ đỉnh \[A\] tới mặt phẳng\[\left( {A'BD} \right)\] bằng \[10\]. Tính thể tích nhỏ nhất của khối hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\]. Biết khoảng cách từ đỉnh \[A\] tới mặt phẳng\[\left( {A'BD} \right)\] bằng \[10\]. Tính thể tích nhỏ nhất của khối hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: 5196.
Gọi độ dài 3 cạnh \[AB,AD,AA'\] lần lượt là \[x,y,z\].
Thể tích của khối \[ABCD.A'B'C'D'\] là: \[V = xyz\].
Kẻ \(AK \bot BD\,\,\left( {K \in BD} \right)\), \(AH \bot A'K\,\,\left( {H \in A'K} \right)\). Ta chứng minh được \(AH \bot \left( {A'BD} \right)\).
Khoảng cách từ\[A\] tới mặt phẳng \[\left( {A'BD} \right)\] bằng \[AH = 10\] nên ta có:
\[\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{{A'}^2}}} = \frac{1}{{{{10}^2}}}\] hay \[\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{1}{{100}}\].
Ta cần tìm GTNN của biểu thức \[V = xyz\].
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm \[\frac{1}{{{x^2}}}\], \[\frac{1}{{{y^2}}}\], \[\frac{1}{{{z^2}}}\] ta được:
\[\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^2}}} \cdot \frac{1}{{{y^2}}} \cdot \frac{1}{{{z^2}}}}}\]\[ \Rightarrow \frac{1}{{100}} \ge 3 \cdot \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2} \cdot {y^2} \cdot {z^2}}}}}\]\[ \Rightarrow x \cdot y \cdot z \ge \sqrt {{{300}^3}} \approx 5196\].
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[x = y = z = 10\sqrt 3 \] (TM).
Vậy thể tích nhỏ nhất của khối hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] là 5196 (đơn vị thể tích).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án: 50.
Ta có giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(p\left( x \right) = 90 - 0,01{x^2}\) (triệu đồng).
Nên bán \(x\) tấn sản phẩm thu được \(\left( {90 - 0,01{x^2}} \right)x\) (triệu đồng). Điều kiện \(0 < x \le 100\).
Lợi nhuận hàng tháng của nhà máy \(A\) khi sản xuất và bán \(x\) tấn sản phẩm cho nhà máy \(B\) là:
\(L\left( x \right) = \left( {90 - 0,01{x^2}} \right)x \cdot 90\% - \frac{1}{2}\left( {200 + 27x} \right)\) (triệu đồng).
Hay \(L\left( x \right) = - 0,009{x^3} + 67,5x - 100\).
Xét hàm số \(L\left( x \right) = - 0,009{x^3} + 67,5x - 100\) trên nửa khoảng \(\left( {0;100} \right]\):
\(L'\left( x \right) = - 0,027{x^2} + 67,5\);
\(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,027{x^2} + 67,5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2500 \Rightarrow x = 50\).
Bảng biến thiên:
Như vậy nhà máy \(A\) cần sản xuất và bán \(50\) tấn sản phẩm cho nhà máy \(B\) mỗi tháng để thu được lợi nhuận cao nhất.
Câu 2
A. \[y = \frac{{3 - {x^2}}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\].
B. \[y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{1 - 2x}}\].
C. \[y = \frac{{x + 1}}{{2x + 1}}\].
D. \[y = \frac{{2x + 1}}{{1 - x}}\].
Lời giải
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3 - {x^2}}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = - \frac{1}{2}\] nên đồ thị hàm số \[y = \frac{{3 - {x^2}}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\] có tiệm cận ngang là đường thẳng \[y = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2y + 1 = 0\]. Chọn A.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Bảng sau thống kê thời gian tập thể dục mỗi ngày trong tháng 3/2025 của hai bạn Hưng và Bình.
Thời gian (phút)
\[\left[ {10;15} \right)\]
\[\left[ {15;20} \right)\]
\[\left[ {20;25} \right)\]
\[\left[ {25;30} \right)\]
\[\left[ {30;35} \right)\]
Số ngày tập của Hưng
\[2\]
\[14\]
\[8\]
\[3\]
\[3\]
Số ngày tập của Bình
\[12\]
\[8\]
\[7\]
\[3\]
\[0\]
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập của Hưng và Bình lần lượt là
Bảng sau thống kê thời gian tập thể dục mỗi ngày trong tháng 3/2025 của hai bạn Hưng và Bình.
|
Thời gian (phút) |
\[\left[ {10;15} \right)\] |
\[\left[ {15;20} \right)\] |
\[\left[ {20;25} \right)\] |
\[\left[ {25;30} \right)\] |
\[\left[ {30;35} \right)\] |
|
Số ngày tập của Hưng |
\[2\] |
\[14\] |
\[8\] |
\[3\] |
\[3\] |
|
Số ngày tập của Bình |
\[12\] |
\[8\] |
\[7\] |
\[3\] |
\[0\] |
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo