Phương trình \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = 4\) có bao nhiêu nghiệm dương?

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định: x ≠ 1, x ≠ –2, x ≠ –3, x ≠ 4.

\(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = 4\)

\(\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 3}}{{x + 3}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x + 4}}{{x - 4}} - 1} \right) = 0\)

\(\frac{{x + 1 - x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 2 - x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{x - 3 - x - 3}}{{x + 3}} + \frac{{x + 4 - x + 4}}{{x - 4}} = 0\)\(\frac{2}{{x - 1}} + \frac{{ - 4}}{{x + 2}} + \frac{{ - 6}}{{x + 3}} + \frac{8}{{x - 4}} = 0\)

\(\frac{2}{{x - 1}} + \frac{{ - 4}}{{x + 2}} + \frac{{ - 6}}{{x + 3}} + \frac{8}{{x - 4}} = 0\)

\[2\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{2}{{x + 2}} - \frac{3}{{x + 3}} + \frac{4}{{x - 4}}} \right) = 0\]

\[\left( {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{4}{{x - 4}}} \right) - \left( {\frac{2}{{x + 2}} + \frac{3}{{x + 3}}} \right) = 0\]

\[\left[ {\frac{{x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right] - \left[ {\frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right] = 0\]

\[\frac{{x - 4 + 4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 3} \right) + 3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0\]

\[\frac{{x - 4 + 4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{2x + 6 + 3x + 6}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0\]

\[\frac{{5x - 8}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{5x + 12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0\]

\[\frac{{\left( {5x - 8} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{\left( {5x + 12} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} = 0\]

(5x – 8)(x + 2)(x + 3) – (5x + 12)(x – 1)(x – 4) = 0

(5x² + 10x – 8x – 16)(x + 3) – (5x² – 5x + 12x – 12)(x – 4) = 0

(5x² + 2x – 16)(x + 3) – (5x² + 7x – 12)(x – 4) = 0

(5x³ + 15x² + 2x² + 6x – 16x – 48) – (5x³ – 20x² + 7x² – 28x – 12x + 48) = 0

5x³ + 15x² + 2x² + 6x – 16x – 48 – 5x³ + 20x² – 7x² + 28x + 12x – 48 = 0

30x² + 30x – 96 = 0.

5x² + 5x – 16 = 0

Phương trình này có ∆ = 5² – 4.5.(–16) = 345 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {345} }}{{2 \cdot 5}} = \frac{{ - 5 + \sqrt {345} }}{{10}} > 0\) (thỏa mãn điều kiện xác định);

\({x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {345} }}{{2 \cdot 5}} = \frac{{ - 5 - \sqrt {345} }}{{10}} < 0\) (thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm dương là \(x = \frac{{ - 5 + \sqrt {345} }}{{10}}.\)

</>