Khi \(u = 2 + \sqrt 3 \) và \(v = 2 - \sqrt 3 \) thì u, v là hai nghiệm của phương trình

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² + mx – 2 = 0 có ∆ = m² – 4.1.(–2) = m² + 8 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m\\{x_1}{x_2} = - 2\end{array} \right..\)

Ta có: \(S = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - m}}{{ - 2}} = \frac{m}{2}.\)

Và \(P = \frac{1}{{{x_1}}} \cdot \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 1}}{2}.\)

Khi đó, \[{S^2} - 4P = {\left( {\frac{m}{2}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{{ - 1}}{2} = \frac{{{m^2}}}{4} + 2 > 0\] với mọi m.

Do đó, với mọi m thì ta có \(\frac{1}{{{x_1}}}\) và \(\frac{1}{{{x_2}}}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \[{X^2} - \frac{m}{2}X + \frac{{ - 1}}{2} = 0\] hay 2X² – mX – 1 = 0.

Đáp án đúng là: A

Phương trình 3x² + 5x – m = 0 có ∆ = 5² – 4.3.(–m) = 25 + 12m.

Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ ≥ 0, tức là 25 + 12m ≥ 0 hay \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}.\)

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂, theo định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 5}}{3}\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - m}}{3}\end{array} \right..\)

Ta có: \(S = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 1}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{{x_1}\left( {{x_1} + 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x_1^2 + x_2^2 + {x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\)\( = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\frac{{ - 5}}{3}} \right)}^2} - 2 \cdot \frac{{ - m}}{3} + \frac{{ - 5}}{3}}}{{\frac{{ - m}}{3} + \frac{{ - 5}}{3} + 1}} = \frac{{\frac{{2m}}{3} + \frac{{10}}{9}}}{{\frac{{ - m}}{3} - \frac{2}{3}}} = - \frac{{6m + 10}}{{3m + 6}}\) (với m ≠ –2).

Và \(P = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 1}} \cdot \frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{{x_1}{x_2}}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\)

\( = \frac{{\frac{{ - m}}{3}}}{{\frac{{ - m}}{3} + \frac{{ - 5}}{3} + 1}} = \frac{{\frac{{ - m}}{3}}}{{\frac{{ - m}}{3} - \frac{2}{3}}} = \frac{m}{{m + 2}}\) (với m ≠ –2).

Khi đó, \[{S^2} - 4P = {\left( { - \frac{{6m + 10}}{{3m + 6}}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{m}{{m + 2}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {6m + 10} \right)}^2} - 4m \cdot 9\left( {m + 2} \right)}}{{9{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{{48m + 100}}{{9{{\left( {m + 2} \right)}^2}}} \ge 0\] với mọi m ≠ –2 và \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}.\)

Do đó, với điều kiện m ≠ –2 và \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}\) thì ta có \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 1}}\) và \(\frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 1}}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \[{X^2} - \left( { - \frac{{6m + 10}}{{3m + 6}}} \right)X + \frac{m}{{m + 2}} = 0\] hay (3m + 6)X² + (6m + 10)X + 3m = 0.