Cho phương trình x² + 5x – 3m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm x₁, x₂. Phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{2}{{x_1^2}}\) và \(\frac{2}{{x_2^2}}\)là

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² + 5x – 3m = 0 có ∆ = 5² – 4.1.(–3m) = 25 + 12m.

Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ ≥ 0, tức là 25 + 12m ≥ 0 hay \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}.\)

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂, theo định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 5\\{x_1}{x_2} = - 3m\end{array} \right..\)

Ta có: \(S = \frac{2}{{x_1^2}} + \frac{2}{{x_2^2}} = \frac{{2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}}{{x_1^2 \cdot x_2^2}} = \frac{{2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{2 \cdot \left[ {{{\left( { - 5} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - 3m} \right)} \right]}}{{{{\left( { - 3m} \right)}^2}}} = \frac{{50 + 12m}}{{9{m^2}}}\) (với m ≠ 0).

Và \(P = \frac{2}{{x_1^2}} \cdot \frac{2}{{x_2^2}} = \frac{4}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( { - 3m} \right)}^2}}} = \frac{4}{{9{m^2}}}\) (với m ≠ 0).

Khi đó, \[{S^2} - 4P = {\left( {\frac{{50 + 12m}}{{9{m^2}}}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{4}{{9{m^2}}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {50 + 12m} \right)}^2} - 144{m^2}}}{{81{m^2}}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {12m + 44} \right)}^2} + 564}}{{81{m^2}}} > 0\] với mọi m ≠ 0 và \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}.\)

Do đó, với điều kiện m ≠ 0 và \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}\) thì ta có \(\frac{2}{{x_1^2}}\) và \(\frac{2}{{x_2^2}}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \[{X^2} - \frac{{50 + 12m}}{{9{m^2}}}X + \frac{4}{{9{m^2}}} = 0\] hay 9m²X² – 2(6m + 25)X + 4 = 0.