Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]; tam giác ABC đều cạnh \[a\] và \[SA = a\] (tham khảo hình vẽ bên). Tìm góc giữa đường thẳng \(SC\)và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].

Vì \(SA \bot ABCD\)nên góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((ABCD)\)là góc \(\widehat {SDA}\).

Trong tam giác vuông \(SDA\) ta có: \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SDA} = 60^\circ \).

a) Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu vuông góc của A lên SM.

Ta có AH ^ SM.

mặt khác BC ^ (SAM) nên BC ^ AH. Ta suy ra AH ^ (SBC).

b) Vì AH ^ (SBC) nên SH là hình chiếu của SA lên mặt phẳng (SBC).

c) Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC) là góc \(\alpha = \widehat {ASH}\).

Xét tam giác SAM vuông tại A ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}}\).

Suy ra \(A{H^2} = \frac{{6{a^2}}}{{11}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\).

d) Xét DSAH vuông tại H ta có \[\sin \widehat {ASH} = \frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}\].

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;    c) Sai;   d) Sai.