Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B,SA \bot (ABC)\). Biết \(AB = a\), \(SC = a\sqrt 5 \). Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((SAC)\) bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Gọi I là trung điểm AC.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BI \bot AC}\\{BI \bot SA}\end{array} \Rightarrow BI \bot (SAC)} \right.\).

\( \Rightarrow SI\) là hình chiếu của \(SB\) trên mp \((SAC)\)

\( \Rightarrow (SB,(SAC)) = (SB,SI) = \widehat {BSI}\)

Ta có: \(AC = a\sqrt 2 \Rightarrow BI = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Ta có: \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 a\)

Ta lại có: \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}} = 2a\)

Xét \(\Delta SBI\) vuông tại \(I\): \[\sin \widehat {BSI} = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{2a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \widehat {BSI} \approx 20,7^\circ \]

Vậy \((SB,(SAC)) \approx 20,7^\circ \).

Trả lời: 20,7.