Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a\sqrt 3 \), cạnh bên bằng \(2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy. Khi đó:

a) \(SO \bot (ABC)\).

b) \((SA,(ABC)) = (SA,OA)\).

c) \(SO = a\sqrt 2 \).

d) \((SM,(ABC)) \approx 70,9^\circ .\)

a) Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\)(O thuộc \(AM)\).

Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(SO \bot (ABC)\).

b) Ta có \(OA\) là hình chiếu của \(SA\) trên mặt phẳng \((ABC)\).

Suy ra \((SA,(ABC)) = (SA,OA) = \widehat {SAO}\).

c) d)Ta có: \(OM\) là hình chiếu của \(SM\) trên \((AB\dot C)\) nên

\((SM,(ABC)) = (SM,OM) = \widehat {SMO}{\rm{. }}\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{OM}&{ = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}{2} = \frac{a}{2}}\\{SO}&{ = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} }\\{}&{ = \sqrt {{{(2a)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 .}\end{array}\)

Tam giác \(SMO\) vuông tại \(O\) có:

\(\begin{array}{l}\tan \widehat {SMO} = \frac{{SO}}{{OM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\frac{a}{2}}} = 2\sqrt 3 \\ \Rightarrow \widehat {SMO} \approx 73,9^\circ .\end{array}\)

Vậy \((SM,(ABC)) = \widehat {SMO} \approx 73,9^\circ .\)

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;    c) Sai;   d) Sai.