Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng

a) Kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AB}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AH} \right.\).

Ta lại có: \(AH \bot SB \Rightarrow AH \bot (SBC) \Rightarrow d(A,(SBC)) = AH\).

Ta có: \(AH = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

Vậy \(d(A,(SBC)) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

b) Vì AD // BC nên AD // (SBC).

c) Ta có: \(AD//(SBC) \Rightarrow d(D,(SBC)) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

d) Ta có: \(MA\) cắt \((SBC)\) tại \(S\)

\( \Rightarrow \frac{{d(M,(SBC))}}{{d(A,(SBC))}} = \frac{{MS}}{{AS}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d(M,(SBC)) = \frac{1}{2}d(A,(SBC)) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}a = \frac{{\sqrt 3 }}{4}a{\rm{. }}\)

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Ta có BD ^ AC và BD ^ SA nên BD ^ (SAC) Þ BD ^ SC.

b) Ta có BC ^ AB và BC ^ SA nên BC ^ (SAB) Þ BC ^ SB.

Suy ra [S, BC, A] = \(\widehat {SBA} = 60^\circ \).

c) Xét DSAB vuông tại A ta có \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}}\)Þ \(SA = a\sqrt 3 \).

Vì SA ^ (ABCD) nên d(S, (ABCD)) = \(SA = a\sqrt 3 \).

d) Hạ AH ^ SO, H Î SO.

Ta có AH ^ SO và AH ^ BD (BD ^ (SAC)) Þ AH ^ (SBD) Þ d(A, (SBD)) = AH.

Xét DSAO vuông tại A, có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Do \(\frac{{CO}}{{AO}} = \frac{{d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}} = 1\) Û d(C, (SBD)) = d(A, (SBD)) = \(\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.