Câu hỏi:

19/08/2025 777

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AC = 6, AB = 12. Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài 26. Khoảng cách có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC. (ảnh 1)

Gọi N là trung điểm cạnh AC, khi đó mặt phẳng (SMN) // BC.

Ta có d(SM, BC) = d(BC, (SMN)) = d(B, (SMN)) = d(A, (SMN)).

Gọi AI là đường cao trong tam giác vuông AMN, ta có \(AI = \frac{{AM.AN}}{{\sqrt {A{M^2} + A{N^2}} }} = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}\).

Lại có SA ^ (ABC) Þ SA ^ MN, suy ra (SAI) ^ (SMN).

Kẻ AH ^ SI Þ AH ^ (SMN) Þ d(A, (SMN)) = AH = \[\frac{{AI.SA}}{{\sqrt {A{I^2} + S{A^2}} }} = 2\].

Vậy d(SM, BC) = 2.

Trả lời: 2.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot (ABCD),SA = a\sqrt 3 ,ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\). Khi đó:

a) \[d(A,(SBC)) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}a\].

b) \(AD//(SBC)\).

c) \(d(D,(SBC)) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

d) Gọi \(M\) là trung điểm \(SA\). Khi đó: \(d(M,(SBC)) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}a\).

Xem đáp án

Lời giải

b (ảnh 1)

a) Kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AB}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AH} \right.\).

Ta lại có: \(AH \bot SB \Rightarrow AH \bot (SBC) \Rightarrow d(A,(SBC)) = AH\).

Ta có: \(AH = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

Vậy \(d(A,(SBC)) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

b) Vì AD // BC nên AD // (SBC).

c) Ta có: \(AD//(SBC) \Rightarrow d(D,(SBC)) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

d) Ta có: \(MA\) cắt \((SBC)\) tại \(S\)

\( \Rightarrow \frac{{d(M,(SBC))}}{{d(A,(SBC))}} = \frac{{MS}}{{AS}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d(M,(SBC)) = \frac{1}{2}d(A,(SBC)) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}a = \frac{{\sqrt 3 }}{4}a{\rm{. }}\)

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Câu 2

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\).

a) \(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SBA}\).

b) \(d\left( {D,\left( {SAC} \right)} \right) = DO\).

c) \[\left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \widehat {CSD}\].

d) \[d\left( {CD,SB} \right) = BD\].

Xem đáp án

Lời giải

c (ảnh 1)

a) Có SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BC mà BC ^ AB Þ BC ^ (SAB) Þ BC ^ SB.

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\AB \bot BC\\SB \bot BC\end{array} \right.\) Þ ((SBC), (ABCD)) = \(\widehat {SBA}\).

b) Có SA ^ (ABCD) Þ SA ^ DO mà DO ^ AC Þ DO ^ (SAC) Þ d(D, (SAC)) = DO.

c) Có SA ^ CD (do SA ^ (ABCD)) mà CD ^ AD Þ CD ^ (SAD).

Do đó SD là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAD).

Suy ra (SC, (SAD)) = (SC, SD) = \(\widehat {DSC}\).

d) Có CD ^ BC mà BC ^ SB Þ d(CD, SB) = BC.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Câu 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng

A. a.

B. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(a\sqrt 2 \).

Lời giải