Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng \(\frac{{{a^3}}}{4}\). Tính cạnh bên \(SA\). 

Đặt \(AB = x,\left( {x > 0} \right)\), gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).

Vì DABC đều Þ AM ^ BC và AA' ^ BC Þ BC ^ (AA'M) Þ BC ^ A'M.

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \bot BC\\A'M \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {A'MA} = 30^\circ \].

Xét \(\Delta A'AM\), có \[A'M = \frac{{AM}}{{cos30^\circ }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}.\frac{2}{{\sqrt 3 }} = x\].

\({S_{A'BC}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}A'M.BC = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Rightarrow x = 4\)

Suy ra \(A'A = AM.\tan 30^\circ = \frac{{4.\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 2\); \({S_{ABC}} = \frac{{16.\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{ABC}} = 2.4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 \approx 13,9\).

Trả lời: 13,9.

a) Theo giả thiết, DSAB vuông tại A có \(SB = a\sqrt 3 ;\widehat {ASB} = 30^\circ \).

Khi đó \(SA = SB.\cos 30^\circ = \frac{{3a}}{2}\) và \(AB = SB.\sin 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Do SA ^ (ABC) nên (SAB) ^ (ABC).

b) Vì (SAB) ^ (ABC) và (SAB) ^ (SBC) nên (SBC) ^ (ABC) .

Suy ra BC ^ (SAB) Þ (SC, (SAB)) = (SC, SB) = \(\widehat {CSB} = 45^\circ \).

Suy ra DSBC vuông cân tại B Þ BC = SB = \(a\sqrt 3 \).

c) BC ^ (SAB) Þ CB ^ AB Þ DABC vuông tại B.

d) Có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{3{a^2}}}{4}\) và \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{3{a^3}}}{8}\).

Vậy tỉ số \(\frac{{{a^3}}}{V} = \frac{8}{3}\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.