Một công ty sản xuất điện thoại di động phát hiện số lượng sản phẩm bán ra có thể được mô tả bằng công thức \(N\left( t \right) = A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {kt + 1} \right)\) (với \(t \ge 0\), \(k\) là hằng số dương), trong đó \(N\left( t \right)\) là số lượng điện thoại bán được (chiếc) sau \(t\) tháng kể từ khi phát hành sản phẩm. Biết sau tháng thứ nhất công ty bán được \(1\,000\) chiếc, sau tháng thứ 5 công ty bán được \(2\,000\) chiếc. Hỏi sau bao nhiêu tháng công ty bán được \[3\,000\] chiếc điện thoại di động.

Ta có \(N\left( 1 \right) = A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {k + 1} \right) \Leftrightarrow A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {k + 1} \right) = 1000\) (1).

\(N\left( 5 \right) = A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {5k + 1} \right) \Leftrightarrow A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {5k + 1} \right) = 2000\) (2).

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{{A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {k + 1} \right)}}{{A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {5k + 1} \right)}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{\left( {k + 1} \right)^2} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {5k + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {k + 1} \right)^2} = 5k + 1 \Leftrightarrow {k^2} - 3k = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 3\\k = 0\,\,(l)\end{array} \right.\).

Thay \(k = 3\) vào (1) ta có \(A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3 + 1} \right) = 1000 \Leftrightarrow A = 500\).

Do đó \(N\left( t \right) = 500 \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3t + 1} \right)\).

Công ty bán được \[3000\] chiếc điện thoại di động khi \[N\left( t \right) = 3000\]

\[ \Leftrightarrow 500 \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3t + 1} \right) = 3000 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3t + 1} \right) = 6 \Leftrightarrow 3t + 1 = {2^6} \Leftrightarrow t = 21\] (tháng).

Đáp án: \(21\).