Cho phương trình \({2^{{x^2} - 2x}} = {m^2} - m + 1\).

a) Khi \(m = 1\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số \(m\).

c) Khi \(m = 2\) thì phương trình có 2 nghiệm \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} \cdot {x_2} = {\log _2}3\).

d) Có tất cả \(6\) giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({2^{{x^2} - 2x}} = {m^2} - m + 1\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1\,;\,2} \right]\).

a) Khi \(m = 1\) thì phương trình trở thành \({2^{{x^2} - 2x}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

b) Xét hàm số \(u\left( x \right) = {x^2} - 2x\) trên \(\mathbb{R}\), ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra \( - 1 \le {x^2} - 2x \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {2^{{x^2} - 2x}}\).

Xét phương trình \({2^{{x^2} - 2x}} = {m^2} - m + 1\) có nghiệm khi và chỉ khi

\[{m^2} - m + 1 \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \forall m \in \mathbb{R}\].

c) Khi \(m = 2\) thì phương trình trở thành \({2^{{x^2} - 2x}} = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {\log _2}3 = 0 \Rightarrow {x_1} \cdot {x_2} = - {\log _2}3\) (theo Viet).

d) Xét hàm số \(u\left( x \right) = {x^2} - 2x\) trên \(\left[ { - 1\,;\,2} \right]\), có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra \( - 1 \le u\left( x \right) \le 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {2^{{x^2} - 2x}} \le 8\).

Do đó, phương trình đã cho \({2^{{x^2} - 2x}} = {m^2} - m + 1\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1\,;\,2} \right]\)  

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {m^2} - m + 1 \le 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - 2m + 1 \ge 0\\{m^2} - m - 7 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt {29} }}{2} \le m \le \frac{{1 + \sqrt {29} }}{2}\).

Kết hợp với \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\) có 6 giá trị nguyên \(m\) cần tìm.

Đáp án:           a) Đúng,          b) Đúng,         c) Sai,              d) Đúng.