Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} + {u_5} = 51,\,\,{u_2} + {u_6} = 102\).

a) Số hạng \({u_1} = 3\).

b) Số hạng \[{u_4} = 48\].

c) Số \(12\,288\) là số hạng thứ 12 của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).

d) Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân là \(765\).

Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân đã cho.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_5=51\\ u_2+u_6=102\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_1{q}^4=51\\ u_{1}q+u_1{q}^5=102\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\left(1+q^4\right)=51\left(1\right)\\ u_{1}q\left(1+q^4\right)=102\left(2\right)\end{array}\right.$

Nhận xét: Nếu \({u_1} = 0\) hay \(q = 0\) thì (1) và (2) đều không thoả mãn, vì vậy ta có \({u_1}q \ne 0\). Chia theo vế (2) cho (1), ta được: \(q = 2\). Thay \(q = 2\) vào (1) suy ra \({u_1} = \frac{{51}}{{1 + {2^4}}} = 3\).

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \({u_n} = 3 \cdot {2^{n - 1}}\). Ta có \({u_4} = 3 \cdot {2^3} = 24\).

Xét \({u_n} = 12\,288 \Leftrightarrow 3 \cdot {2^{n - 1}} = 12\,288 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{12}} \Leftrightarrow n = 13\).

Vậy \(12\,288\) là số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.

Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân là: \({S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^8}} \right)}}{{1 - 2}} = 765\).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Sai,              d) Đúng.