Một cấp số cộng thỏa mãn \({u_1} - {u_3} = 10\) và \[{u_2} + {u_5} = 4011\]. Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} = 10\\{u_2} + {u_5} = 4011\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_1} - 2d = 10\\{u_1} + d + {u_1} + 4d = 4011\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = - 5\\{u_1} = 2018\end{array} \right.\).

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2018 - 5\left( {n - 1} \right)\) \(\left( {n \in \mathbb{N}} \right).\)

Theo đề ra \({u_n} = 2018 - 5\left( {n - 1} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow 2018 < 5\left( {n - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 2023 < 5n \Leftrightarrow n > 404,6\). Do \(n\) là số tự nhiên nên ta lấy \(n = 405\). Vậy bắt đầu từ số hạng thứ \(405\) thì cấp số cộng có giá trị âm.

Đáp án: \(405\).