Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + 3}}{{x + c}}\) với \(a \ne 0,\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Giá trị của biểu thức \(S = a + b + c\) bằng bao nhiêu?

Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \[D = \mathbb{R}\].

Từ đồ thị, ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), ; đạt cực tiểu tại \(x = 2\), \({y_{CT}} =  - 2\).

Hai cực trị  và \({y_{CT}} =  - 2\) trái dấu.

Ta có \(f'\left( x \right) = ax\left( {x - 2} \right) = a{x^2} - 2ax \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{a}{3}{x^3} - a{x^2} + d\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2\\f\left( 2 \right) =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\d = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Vậy \(f\left( 5 \right) = 52\).

Đồ thị hàm số có có hai điểm cực trị là \(A\left( {0;2} \right),\,\,B\left( {2; - 2} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(d:\frac{{x - 0}}{{2 - 0}} = \frac{{y - 2}}{{ - 2 - 2}} \Rightarrow d:2x + y - 2 = 0\).

Khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(d\) là \(\frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\). Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {3x - 2{x^3}} \right)\).

Có \(g\prime \left( x \right) = f\prime \left( x \right) - \left( {3 - 6{x^2}} \right) = 9{x^2} - 6x - 3\). Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {3x - 2{x^3}} \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,          d) Sai.

Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{m}},\,x > 0} \right)\) là chiều rộng của đáy kiện hàng. Khi đó chiều dài của kiện hàng là \(2x\,\left( {\rm{m}} \right)\) và chiều cao của kiện hàng là \(\frac{9}{{2{x^2}}}\,\left( {\rm{m}} \right)\). Khi đó diện tích của kiện hàng là \(4{x^2} + \frac{{27}}{x}\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^2} + \frac{{27}}{x}\) có \(f'\left( x \right) = 8x - \frac{{27}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1,5\).

Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) như sau:

Từ bảng biên thiên ta có \(\min \,f\left( x \right) = f\left( {1,5} \right) = 27\).

Vậy chi phí thấp nhất làm kiện hàng là: \(200\,000 \cdot 27 = 5\,400\,000\) đồng \( = 5,4\) triệu đồng.

Đáp án: \(5,4\).