Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + 3}}{{x + c}}\) với \(a \ne 0,\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Giá trị của biểu thức \(S = a + b + c\) bằng bao nhiêu?

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x =  - 2\) và tiệm cận xiên \(y = x + 2.\)

Từ \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( \Rightarrow c = 2.\)

Ta có \(y = \frac{{a{x^2} + bx + 3}}{{x + 2}} = ax + b - 2a + \frac{{4a - 2b + 3}}{{x + 2}}\).

Từ \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b - 2a = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 4\end{array} \right.\).

Hàm số có đồ thị như hình vẽ là \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}\).

Vậy \(a = 1,b = 4,c = 2 \Rightarrow S = a + b + c = 7\).

Đáp án: \(7\).