Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y =  - x + 3 - \frac{1}{{x + 2}}\) trên nửa khoảng \(\left[ { - 4; - 2} \right)\) .    

Gọi \(\left( {{d_1}} \right):y =  - x + m\) (với \(m > 4\)) song song với \(\left( d \right):y =  - x + 4\) và cắt \(\left( C \right):y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt \(B,C\)\(\left( {{x_B}\,;\,{x_C} > 1} \right)\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( C \right)\): \(\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} =  - x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {1 - m} \right)x + m + 1 = 0.\)

\(\Delta  = {m^2} - 6m - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3 + 2\sqrt 3 \\m < 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3 + 2\sqrt 3 \) (vì \(m > 4\))   (1).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} + {x_B} = m - 1\\{x_C} \cdot {x_B} = m + 1\end{array} \right.\).

Suy ra \(CB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_C}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)}^2} + {{\left( { - {x_B} + m + {x_C} - m} \right)}^2}}  = \sqrt {2{{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)}^2}} \).

\( \Rightarrow C{B^2} = 2{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)^2} = 2{\left( {{x_B} + {x_C}} \right)^2} - 8{x_B} \cdot {x_C} = 2{m^2} - 12m - 6\).

Mặt khác chọn \(I\left( {0;4} \right) \in \left( d \right)\), ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\left( d \right);\left( {{d_1}} \right)\) là:

\(AB = d\left( {I,\left( {{d_1}} \right)} \right) = \frac{{\left| {4 - m} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{m - 4}}{{\sqrt 2 }}\).

Để \(ABCD\) là hình vuông thì \(A{B^2} = B{C^2} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m - 4} \right)}^2}}}{2} = 2{m^2} - 12m - 6 \Leftrightarrow m = \frac{{8 \pm 2\sqrt {37} }}{3}\).

Kết hợp điều kiện (1) suy ra \(m = \frac{{8 + 2\sqrt {37} }}{3}\).

Vậy khoảng cách giữa hai cột đèn bên bờ hồ bằng \(\frac{{\frac{{8 + 2\sqrt {37} }}{3} - 4}}{{\sqrt 2 }} \approx 1,92.\)

Đáp án: \(1,92\).

Ta có: \({t_k} = \frac{{{N_k}}}{N} \Leftrightarrow {N_k} = N \cdot {t_k}\).

Số công nhân vi phạm đúng một lần là \({N_1} = N \cdot {t_1} = \frac{{36N}}{{x + 10}}\).

Suy ra số tiền nộp phạt từ \({N_1}\) công nhân này là: \({N_1} \cdot x = \frac{{36Nx}}{{x + 10}}\) (nghìn đồng).

Số công nhân vi phạm đúng hai lần là \({N_2} = N \cdot {t_2} = \frac{{4N}}{{x - 30}}\).

Suy ra số tiền nộp phạt từ \({N_2}\) công nhân này là: \({N_2} \cdot \left( {x + x - 20} \right) = \frac{{4N\left( {2x - 20} \right)}}{{x - 30}}\) (nghìn đồng).

Vậy tổng số tiền nộp phạt của các công nhân vi phạm trong một tháng là:

\(f\left( x \right) = \frac{{36Nx}}{{x + 10}} + \frac{{4N\left( {2x - 20} \right)}}{{x - 30}}\)\( = 4N\left( {\frac{{9x}}{{x + 10}} + \frac{{2x - 20}}{{x - 30}}} \right)\) (nghìn đồng).

Xét hàm số \(f\left( x \right)\) với \(x \in \left[ {60;300} \right]\), ta có: \(f'\left( x \right) = 4N \cdot \left[ {\frac{{90}}{{{{\left( {x + 10} \right)}^2}}} - \frac{{40}}{{{{\left( {x - 30} \right)}^2}}}} \right]\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{90}}{{{{\left( {x + 10} \right)}^2}}} - \frac{{40}}{{{{\left( {x - 30} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 110\quad (TM)\\x = 14\quad \;\,(L)\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy tổng số tiền nộp phạt của các công nhân vi phạm trong một tháng ít nhất là: \(43N = 43 \cdot 2\,400 = 103\,200\) (nghìn đồng) \( \approx 103\) (triệu đồng).

Đáp án: \(103\).