Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y =  - x + 3 - \frac{1}{{x + 2}}\) trên nửa khoảng \(\left[ { - 4; - 2} \right)\) .    

Trong một công viên có một hồ nước và một đường đi lát gạch hoa. Thiết lập hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ dưới, kiến trúc sư thấy rằng bờ hồ có thể coi như một nhánh của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) và đường đi khi đó ứng với đường thẳng \(\left( d \right):y =  - x + 4\). Để đảm bảo ánh sáng, kiến trúc sư muốn đặt 2 cột đèn trên bờ hồ và 2 cột đèn trên đường đi sao cho 4 cột đèn này tạo thành một hình vuông. Tính khoảng cách giữa hai cột đèn trên bờ hồ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Để hạn chế vi phạm thời gian làm việc đối với công nhân, giám đốc công ty quyết định xử lý bằng cách phạt tiền. Nhờ sự giám sát chặt chẽ của các quản đốc, giám đốc công ty biết được trong một tháng, giữa tỉ lệ công nhân vi phạm đúng \(k\) lần \(\left( {1 \le k \le 2} \right)\) là \({t_k} = \frac{{{N_k}}}{N}\) (trong đó \({N_k}\) là số công nhân vi phạm đúng \(k\) lần, \(N\) là tổng số công nhân) và mức phạt mỗi lần vi phạm có mối liên hệ như sau:

Nếu mỗi công nhân nộp phạt \(x\) nghìn đồng \(\left( {60 \le x \le 300} \right)\) khi vi phạm lần thứ nhất và nộp phạt \(x - 20\) nghìn đồng khi vi phạm lần thứ hai thì \({t_1} = \frac{{36}}{{x + 10}}\) và \({t_2} = \frac{4}{{x - 30}}\) (không có công nhân nào vi phạm quá hai lần).

Biết rằng \(N\) không đổi và bằng \(2\,400\). Tổng số tiền nộp phạt của các công nhân vi phạm trong một tháng ít nhất là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một cửa hàng phân phối gạo với chi phí mua vào là \[30\] nghìn đồng/\[1{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\rm{kg}}\], bán ra là \[35\]nghìn đồng/\[1{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\rm{kg}}\]. Với giá bán này thì số gạo bán được trong một tháng là \[12\,000{\kern 1pt} \,{\rm{kg}}\]. Để đẩy mạnh hơn nữa doanh số tiêu thụ gạo trong một tháng, cửa hàng dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm \[1\] nghìn đồng/\[{\rm{1}}\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{kg}}\] thì số lượng gạo bán ra trong một tháng sẽ tăng thêm \[4\,000{\kern 1pt} \,{\rm{kg}}\]. Cửa hàng phải định giá bán gạo mới là bao nhiêu nghìn đồng một kilôgam thì lợi nhuận thu được trong tháng cao nhất?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2\cos x + x\sqrt 2 \).

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = 2\sin x + \sqrt 2 \).

b) \(f\left( 0 \right) = 2;\,\,f\left( \pi  \right) =  - 2 + \pi \sqrt 2 \).

c) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có đúng hai nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).

d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là \(\pi \sqrt 2 \).

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} - 1}} - {x^2}\).

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = 2x{e^{{x^2} - 1}} - 2x\).

b) \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{e};f\left( 1 \right) = 0\).

c) Tập nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) là \(\left\{ {0;1} \right\}\).

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) là \(0\).

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ \(t\) là \(f\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3}\) với \(t \ge 0\). Nếu coi \(y = f\left( t \right)\) là hàm số xác định trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\) thì \(f'\left( t \right)\) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm \(t\).

a) Tốc độ truyền bệnh tại thời điểm \(t\) là \(f'\left( t \right) = 90t - 3{t^2}\).

b) Số người bị nhiễm bệnh từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ 13 là 4 752.

c) Đến ngày thứ 45 thì không còn người nhiễm bệnh.

d) Trong 35 ngày đầu tiên thì số người nhiễm bệnh luôn tăng.