Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(c\) là số thực tùy ý thuộc đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Nếu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} \) và \(\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = 8} \) thì tích phân \(\int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng     

Ta có \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}{\rm{d}}x}  = \int {{x^{ - 3}}{\rm{d}}x}  = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C =  - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\). Chọn C.

Vì \(ABCD\) là hình vuông có cạnh bằng \(4\,{\rm{cm}}\) và điểm \(A\) có tung độ bằng \(1\) nên điểm \(B\) có tung độ bằng \( - 3\). Ta có hình vẽ sau:

Gọi parabol chứa đường cong \(AOD\) có phương trình là \(y = a{x^2}\).

Vì parabol đi qua điểm\(A\left( { - 2;1} \right)\) nên ta có: \(1 = a \cdot {\left( { - 2} \right)^2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\)\( \Rightarrow y = \frac{1}{4}{x^2}\).

Gọi parabol chứa đường cong \(BOC\) có phương trình là \(y = a'{x^2}\).

Vì parabol đi qua điểm\(C\left( {2; - 3} \right)\) nên ta có: \( - 3 = a \cdot {2^2} \Leftrightarrow a =  - \frac{3}{4}\)\( \Rightarrow y =  - \frac{3}{4}{x^2}\).

Phần tô đậm \(AOB\) được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\), \(y =  - \frac{3}{4}{x^2}\) và hai đường thẳng \(x =  - 2\), \(x = 0\) nên có diện tích là \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^0 {\left[ {\frac{1}{4}{x^2} - \left( { - \frac{3}{4}} \right){x^2}} \right]{\rm{d}}x}  = \frac{8}{3}\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Phần tô đậm \(COD\) được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\), \(y =  - \frac{3}{4}{x^2}\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) nên có diện tích là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left[ {\frac{1}{4}{x^2} - \left( { - \frac{3}{4}} \right){x^2}} \right]{\rm{d}}x}  = \frac{8}{3}\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ là \[S = {S_1} + {S_2} = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3}\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}} < 5,5\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\].

Diện tích hình vuông \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = {4^2} = 16\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Diện tích phần không tô đậm là \({S_k} = 16 - \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Tổng chi phí để làm chiếc huy hiệu: \(T = 1\,000\,000 \cdot \frac{{16}}{3} + 300\,000 \cdot \frac{{32}}{3} + 500\,000 \approx 9\,033\,333\) (đồng).

Đáp án:       a) Sai,         b) Đúng,     c) Sai,          d) Sai.