Một công ty thiết kế mẫu huy hiệu để tặng cho khách hàng thân thiết của mình (xem hình vẽ bên). Trong đó \(ABCD\) là hình vuông có cạnh bằng \(4\,{\rm{cm}}\), các đường cong \(AOD\) và \(BOC\) là một phần của các parabol đỉnh \(O\). Với hệ trục tọa độ \(Oxy\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét) thì điểm \(A\) có tung độ bằng \(1\). Biết phần tô đậm trong hình vẽ được phủ vàng với chi phí \(1\) một triệu đồng/\(1\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), phần còn lại được phủ bạc với chi phí 300 nghìn đồng/\(1\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), các chi phí còn lại là 500 nghìn đồng.
a) Parabol chứa đường cong \(AOD\) có phương trình là \(y = \frac{1}{{16}}{x^2}\).
b) Parabol chứa đường cong \(BOC\) có phương trình là \(y = - \frac{3}{4}{x^2}\).
c) Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ lớn hơn \(5,5\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
d) Chí sản xuất \(1\) chiếc huy hiệu trên nhỏ hơn \(9\) triệu đồng.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Vì \(ABCD\) là hình vuông có cạnh bằng \(4\,{\rm{cm}}\) và điểm \(A\) có tung độ bằng \(1\) nên điểm \(B\) có tung độ bằng \( - 3\). Ta có hình vẽ sau:
Gọi parabol chứa đường cong \(AOD\) có phương trình là \(y = a{x^2}\).
Vì parabol đi qua điểm\(A\left( { - 2;1} \right)\) nên ta có: \(1 = a \cdot {\left( { - 2} \right)^2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\)\( \Rightarrow y = \frac{1}{4}{x^2}\).
Gọi parabol chứa đường cong \(BOC\) có phương trình là \(y = a'{x^2}\).
Vì parabol đi qua điểm\(C\left( {2; - 3} \right)\) nên ta có: \( - 3 = a \cdot {2^2} \Leftrightarrow a = - \frac{3}{4}\)\( \Rightarrow y = - \frac{3}{4}{x^2}\).
Phần tô đậm \(AOB\) được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\), \(y = - \frac{3}{4}{x^2}\) và hai đường thẳng \(x = - 2\), \(x = 0\) nên có diện tích là \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^0 {\left[ {\frac{1}{4}{x^2} - \left( { - \frac{3}{4}} \right){x^2}} \right]{\rm{d}}x} = \frac{8}{3}\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Phần tô đậm \(COD\) được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\), \(y = - \frac{3}{4}{x^2}\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) nên có diện tích là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left[ {\frac{1}{4}{x^2} - \left( { - \frac{3}{4}} \right){x^2}} \right]{\rm{d}}x} = \frac{8}{3}\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ là \[S = {S_1} + {S_2} = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3}\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}} < 5,5\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\].
Diện tích hình vuông \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = {4^2} = 16\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Diện tích phần không tô đậm là \({S_k} = 16 - \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Tổng chi phí để làm chiếc huy hiệu: \(T = 1\,000\,000 \cdot \frac{{16}}{3} + 300\,000 \cdot \frac{{32}}{3} + 500\,000 \approx 9\,033\,333\) (đồng).
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}{\rm{d}}x} = \int {{x^{ - 3}}{\rm{d}}x} = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\). Chọn C.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gắn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ là tâm của chiếc vòng, trục \(Ox\) là trục đối xứng của vòng, \(Oy\) đi qua tâm một thiết diện cắt ngang của vòng.
Khi đó phương trình đường tròn thiết diện là
\(\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow y = 6 \pm \sqrt {1 - {x^2}} \).
Vòng được tạo ra bằng cách quay đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 1\) quanh trục \(Ox\).
Thể tích của chiếc vòng là:
\[{V_{Ox}} = \pi \left[ {\int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {6 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}x - } \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {6 - \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}x} } \right] = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {24\sqrt {1 - {x^2}} } {\rm{d}}x = 12{\pi ^2} \approx 118\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\].
Đáp án: \(118\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Cho một chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc \[v\left( t \right)\]( đơn vị: \[{\rm{m/s}}\]) có đồ thị như hình vẽ bên. Trong đó đồ thị có dạng các đoạn thẳng tương ứng theo thời gian \[t\] giây khi \[0 \le t \le 3\], \[8 \le t \le 15\] và có dạng đường parabol tương ứng thời gian \[t\] giây khi \[3 \le t \le 8\].
a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \[t = 15\] là \[v\left( {15} \right) = 21\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].
b) Quãng đường mà chất điểm đi được trong thời gian \[3\] giây đầu \[\left( {0 \le t \le 3} \right)\] là \(S = \int\limits_0^3 {11\,{\rm{d}}t\,\,\,{\rm{(m)}}} \).
c) Quãng đường mà chất điểm đi được trong khoảng thời gian \[7\] giây cuối \[\left( {8 \le t \le 15} \right)\] là \(73,5\,\,{\rm{m}}\).
d) Vận tốc trung bình \({v_{tb}}\) của chất điểm trong thời gian \[t\] giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\] thỏa mãn \({v_{tb}} < 7\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \[t = 15\] là \[v\left( {15} \right) = 21\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].
b) Quãng đường mà chất điểm đi được trong thời gian \[3\] giây đầu \[\left( {0 \le t \le 3} \right)\] là \(S = \int\limits_0^3 {11\,{\rm{d}}t\,\,\,{\rm{(m)}}} \).
c) Quãng đường mà chất điểm đi được trong khoảng thời gian \[7\] giây cuối \[\left( {8 \le t \le 15} \right)\] là \(73,5\,\,{\rm{m}}\).
d) Vận tốc trung bình \({v_{tb}}\) của chất điểm trong thời gian \[t\] giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\] thỏa mãn \({v_{tb}} < 7\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập